Question

試確定一切有理數(shù)r，使關(guān)于x的二次方程rx²+（r+2）x+3r-2=0有根且只有整數(shù)根，求r的值．

Answer 1

考點：一元二次方程的整數(shù)根與有理根

專題：

分析：由于方程的類型已經(jīng)確定，則r≠0，由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個等式，利用因式（數(shù)）分解先求出方程兩整數(shù)根．

解答：解：由題意可得：
r≠0時，因為方程有整數(shù)根，所以兩根之和為整數(shù)，兩根之積也為整數(shù)，
而x₁+x₂=

-(r+2)

r

=-1-

2

r

，
x₁x₂=

3r-2

r

=3-

2

r

，
所以-1-

2

r

，3-

2

r

都應(yīng)該是整數(shù)，
所以r是2的因數(shù)，而2的因數(shù)有±1，±2，
所以r=±1或r=±2，當(dāng)r=1或2時，方程沒有實數(shù)根，所以不合題意，舍去；
而當(dāng)r=-1時，方程變?yōu)?x²+x-5=0，方程有實數(shù)根，但不是整數(shù)，不符合題意，舍去；
當(dāng)r=-2時，方程變?yōu)?2x²-8=0，
解得：x=±2，符合題意；
綜合以上得r=-2．

點評：本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根．在解答此題時，利用了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．