Question

【題目】已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）和（2，6）．

（1）求b和c的值．

（2）若點(diǎn)A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，問(wèn)是否存在整數(shù)n，使？若存在，請(qǐng)求出n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象在y軸左側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y=﹣2x沿y軸向下平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，請(qǐng)求出所有符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）n=3或n=-5 （2） (,-) 或(,-)

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．

（2）求出y1，y2，y3代入解方程即可解決問(wèn)題，注意運(yùn)算技巧．

（3）當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，由圖象可知不存在點(diǎn)P，使得△PCD為直角三角形，當(dāng)C為直角頂點(diǎn)，CD為直角邊時(shí)，作PE⊥OC于E．分兩種情形①CD=2PC，②PC=2CD，

設(shè)直線y=-2x向下平移m個(gè)單位，則直線CD解析式為y=-2x-m，求出點(diǎn)P坐標(biāo)（用m表示），代入拋物線解析式即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）把（-1，0）和（2，6）代入y=x2+bx+c中，

得，解得，

∴b=1，c=0．

（2）由題意y1=n2+n，y2=（n+1）2+（n+1），y3=（n+2）2+（n+2），

∵，

∴，

∴，

∴，

整理得n2+3n-10=0，

解得n=2或-5．

經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)n=2和-5是分式方程的解．

（3）當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，由圖象可知不存在點(diǎn)P，使得△PCD為直角三角形，當(dāng)C為直角頂點(diǎn)，CD為直角邊時(shí)，作PE⊥OC于E．

設(shè)直線y=-2x向下平移m個(gè)單位，則直線CD解析式為y=-2x-m，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)（0，-m），點(diǎn)C坐標(biāo)（-，0），

∴OD=m，OC=，

∴OD=20C，

∵△PCD與△OCD相似，

∴CD=2PC或PC=2CD，

①當(dāng)CD=2PC時(shí)，

∵∠PCD=90°，

∴∠PCE+∠DCO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠PCE=∠CDO，

∵∠PEC=∠COD=90°，

∴△COD∽△PEC，

∴，

∴EC=，PE=，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-m，-），代入y=x2+x，

得-=m2-m，解得m=或（0舍棄）

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-，-）．

②PC=2CD時(shí)，由，

∴EC=2m，PE=m，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-m，-m），代入y=x2+x，

得-m=m2-m，

解得m=和（0舍棄），

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-，-）．