【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AH⊥BC于點H,過點C作CD⊥AC,連接AD,點M為AC上一點,且AM=CD,連接BM交AH于點N,交AD于點E.
(1)若AB=3,AD= ,求△BMC的面積;
(2)點E為AD的中點時,求證:AD= .
【答案】
(1)解:如圖1中,
在△ABM和△CAD中,
,
∴△ABM≌△CAD,
∴BM=AD= ,
∴AM= =1,
∴CM=CA﹣AM=2,
∴S△BCM= CMBA= 23=3.
(2)解:如圖2中,連接EC、CN,作EQ⊥BC于Q,EP⊥BA于P.
∵AE=ED,∠ACD=90°,
∴AE=CE=ED,
∴∠EAC=∠ECA,
∵△ABM≌△CAD,
∴∠ABM=∠CAD,
∴∠ABM=∠MCE,
∵∠AMB=∠EMC,
∴∠CEM=∠BAM=90°,
∵△ABM∽△ECM,
∴ = ,
∴ = ,∵∠AME=∠BMC,
∴△AME∽△BMC,
∴∠AEM=∠ACB=45°,
∴∠AEC=135°,易知∠PEQ=135°,
∴∠PEQ=∠AEC,
∴∠AEQ=∠EQC,∵∠P=∠EQC=90°,
∴△EPA≌△EQC,
∴EP=EQ,∵EP⊥BP,EQ⊥BC
∴BE平分∠ABC,
∴∠NBC=∠ABN=22.5°,
∵AH垂直平分BC,
∴NB=NC,
∴∠NCB=∠NBC=22.5°,
∴∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°,
∴△ENC的等腰直角三角形,
∴NC= EC,∴AD=2EC,
∴2NC= AD,
∴AD= NC,
∵BN=NC,
∴AD= BN.
【解析】(1)首先根據SAS證出△ABM≌△CAD,推出BM=AD= ,然后根據勾股定理得出AM的長,再推出CM=CA﹣AM=2,從而利用∴S△BCM= CMBA得出答案;
(2)如圖2中,連接EC、CN,作EQ⊥BC于Q,EP⊥BA于P,想辦法證出△ENC的等腰直角三角形,即可解決問題。
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質和勾股定理的概念是解答本題的根本,需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線;線段垂直平分線的性質定理:線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在綜合與實踐課上,同學們以“一個含的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數學活動,如圖,已知兩直線且和直角三角形,,,.
操作發(fā)現(xiàn):
(1)在如圖1中,,求的度數;
(2)如圖2,創(chuàng)新小組的同學把直線向上平移,并把的位置改變,發(fā)現(xiàn),說明理由;
實踐探究:
(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結論的基礎上,將如圖中的圖形繼續(xù)變化得到如圖,平分,此時發(fā)現(xiàn)與又存在新的數量關系,請直接寫出與的數量關系.
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【題目】如圖,在5×5的正方形網格中,每個小正方形的邊長為1,請在所給網格中按下列要求畫出圖形.
(1)已知點A在格點(即小正方形的頂點)上,畫一條線段AB,長度為,且點B在格點上.
(2)以上題所畫的線段AB為一邊,另外兩條邊長分別為,. 畫一個△ABC,使點C在格點上(只需畫出符合條件的一個三角形).
(3)所畫出的△ABC的邊AB上的高線長為 .(直接寫出答案)
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【題目】如圖1,在△OAB中,∠OAB=90,∠AOB=30,OB=8.以OB為一邊,在△OAB外作等邊三角形OBC,D是OB的中點,連接AD并延長交OC于E.
【1】求點B的坐標
【2】求證:四邊形ABCE是平行四邊形;
【3】如圖2,將圖1中的四邊形ABCO折疊,使點C與點A重合,折痕為FG,求OG的長.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分別是邊AB和BC的中點,EP⊥CD于點P,則∠FPC=( )
A. 35° B. 45° C. 50° D. 55°
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【題目】如圖1,已知線段,點C為線段AB上的一動點,點D、E分別是AC和BC中點.
若,求DE的長;
試說明無論AC取何值不超過,DE的長不變;
如圖2,已知,過角的內部一點C畫射線OC,若OD、OE分別平分和,試說明的度數與射線OC的位置無關.
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【題目】如圖,AD∥BC,BE平分∠ABC交AD于點E,BD平分∠EBC.
(1)若∠DBC=35°,則∠A的度數為________;
(2)若∠DBC=α,求∠A的度數(用含α的代數式表示);
(3)已知120°<∠ABC<180°,若點F在線段AE上,連接BF,當△BFD為直角三角形時,求∠A與∠FBE的數量關系.
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【題目】如圖,點P是正方形ABCD內一點,點P到點A,B和C的距離分別為,1,2,△ABP繞點B旋轉至△CBP′,連結PP′,并延長BP與DC相交于點Q,則∠CPQ的大小為______ (度)
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【題目】王大伯幾年前承包了甲、乙兩片荒山,各栽100棵楊梅樹,成活98%.現(xiàn)已掛果,經濟效益初步顯現(xiàn),為了分析收成情況,他分別從兩山上隨意各采摘了4棵樹上的楊梅,每棵的產量如折線統(tǒng)計圖所示.
(1)分別計算甲、乙兩山樣本的平均數,并估算出甲、乙兩山楊梅的產量總和;
(2)試通過計算說明,哪個山上的楊梅產量較穩(wěn)定?
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