Question

．（8分）如圖1，已知直線y=2x（即直線l₁）和直線y=—x+4（即直線l₂），l₂與x軸相交于點A．點P從原點O出發(fā)，向x軸的正方向作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時點Q從A點出發(fā)，向x軸的負方向作勻速運動，速度為每秒2個單位．設(shè)運動了t秒．

   1.（1）求這時點P、Q的坐標(biāo)（用t表示）．

   2.（2）過點P、Q分別作x軸的垂線，與l₁、l₂分別相交于點O₁、O₂（如圖1）．

以O(shè)₁為圓心、O₁P為半徑的圓與以O(shè)₂為圓心、O₂Q為半徑的圓能否相切若能，求出t值；若不能，說明理由．

 

Answer 1

 

1.解：（1）點P的橫坐標(biāo)為t，P點的坐標(biāo)為（t，0），

由- x+4=0得x=8，

所以點Q的橫坐標(biāo)為8-2t，點Q的坐標(biāo)為（8-2t，0）．

 

2.（2）由（1）可知點O₁的橫坐標(biāo)為t，點O₂的橫坐標(biāo)為8-2t，

將x=t代入y=2x，得y=2t，

所以點O₁的坐標(biāo)為（t，2t），

將x=8-2t代入y=- x+4，得y=t，

所以點O₂的坐標(biāo)為（8-2t，t），

①若這兩圓外切（如圖），連接O₁O₂，過點O₂作O₂N⊥O₁P，垂足為N．

則O₁O₂=2t+t=3t，O₂N=8-2t-t=8-3t，O₁P=2t-t=t，

所以t²+（8-3t）²=（3t）²，

即t²-48t+64=0，解得t₁=24+16 ，t₂=24-16．

②若這兩圓內(nèi)切，又因為兩圓都x軸相切所以點P、Q重合（如圖）

此時O₁、O₂的橫坐標(biāo)相同，即8-2t=t，t= ，

（或：設(shè)l₂與y軸相交于點M，則 = ，即 = ，

所以t= ，

所以兩圓能相切，這是t的值分別為24+16 ，24-16和 ．

解析:略