Question

【題目】如圖，以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），直線x=1交x軸于點(diǎn)B．點(diǎn)為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作直線PC⊥PO，交直線x=1于點(diǎn)C．過(guò)P點(diǎn)作直線MN平行于x軸，交y軸于點(diǎn)M，交直線x=1于點(diǎn)N．記AP=x，△PBC的面積為S．

（1）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，求證：△OPM≌△PCN；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=1上移動(dòng)，求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，直接寫(xiě)出所有能使△PBC成為等腰三角形的x的值；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）S=x2﹣x+（＜x＜）．（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（，1﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)∠OPC=90°和同角的余角相等，我們可得出△OPM和△PCN中兩組對(duì)應(yīng)角相等，要證兩三角形全等，必須有相等的邊參與，已知了OA=OB，因此三角形OAB是等腰直角三角形，那么△AMP也是個(gè)等腰三角形，AM=MP，OA=OB=MN，由此我們可得出OM=PN，由此我們可得出兩三角形全等．

（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)C在第一象限時(shí)，②點(diǎn)C在第四象限時(shí)．分別利用S=S△PBC=BCPN求解即可．

（3）要分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)C在第一象限時(shí)，要想使PCB為等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，因此此時(shí)P與A重合，那么P的坐標(biāo)就是A的坐標(biāo)．②當(dāng)C在第四象限時(shí)，要想使PCB為等腰三角形，那么PB=BC，在等腰RT△PBN中，我們可以用x表示出BP的長(zhǎng)，也就表示出了BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)（1）中的全等三角形，可得出MP=NC，那么可用這兩個(gè)含未知數(shù)x的式子得出關(guān)于x的方程來(lái)求出x的值．那么也就求出了PM、OM的長(zhǎng)，也就得出了P點(diǎn)的坐標(biāo)．

證明：（1）如圖，

∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°

∴四邊形OBNM為矩形

∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°

∵OA=OB，

∴∠1=∠3=45°

∵MN∥OB

∴∠2=∠3=45°

∴∠1=∠2=45°，

∴AM=PM

∴OM=OA﹣AM=1﹣AM，PN=MN﹣PM=1﹣PM

∴OM=PN

∵∠OPC=90°，

∴∠4+∠5=90°，

又∵∠4+∠6=90°，

∴∠5=∠6

∴△OPM≌△PCN

（2）解：①點(diǎn)C在第一象限時(shí)，

∵AM=PM=APsin45°=x

∴OM=PN=1﹣x，

∵△OPM≌△PCN

∴CN=PM=x，

∴BC=OM﹣CN=1﹣x﹣x=1﹣x，

∴S=S△PBC=BCPN=×（1﹣x）（1﹣x）=x2﹣x+（0≤x＜）．

②如圖1，點(diǎn)C在第四象限時(shí)，

∵AM=PM=APsin45°=x

∴OM=PN=1﹣x，

∵△OPM≌△PCN

∴CN=PM=x，

∴BC=CN﹣OM=x﹣（1﹣x）=x﹣1，

∴S=S△PBC=BCPN=×（1﹣x）（x﹣1）=x2﹣x+（＜x＜）．

（3）解：△PBC可能成為等腰三角形

①當(dāng)P與A重合時(shí)，PC=BC=1，此時(shí)P（0，1）

②如圖，當(dāng)點(diǎn)C在第四象限，且PB=CB時(shí)

有BN=PN=1﹣x

∴BC=PB=PN=﹣x

∴NC=BN+BC=1﹣x+﹣x

由（2）知：NC=PM=x

∴1﹣x+﹣x=x

整理得（+1）x=+1

∴x=1

∴PM=x=，BN=1﹣x=1﹣，

∴P（，1﹣）

由題意可知PC=PB不成立

∴使△PBC為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（，1﹣）．