Question

（1）已知有一條拋物線的形狀（開口方向和開口大小）與拋物線y=2x²相同，它的對(duì)稱軸是直線x=-2；且當(dāng)x=1時(shí)，y=6，求這條拋物線的解析式．
（2）定義：如果點(diǎn)P（t，t）在拋物線上，則點(diǎn)P叫做這條拋物線的不動(dòng)點(diǎn)．
①求出（1）中所求拋物線的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)a、b、c滿足什么關(guān)系式時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c上一定存在不動(dòng)點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由題意代入數(shù)值求出a，b，c即可；
（2）①設(shè)P（t，t）是拋物線的不動(dòng)點(diǎn)，則2t²+8t-4=t解得t的值，求得點(diǎn)P坐標(biāo)；
②設(shè)P（t，t）是拋物線的不動(dòng)點(diǎn)，則at²+bt+c=t分兩種情況討論：當(dāng)（b-1）²-4ac≥0時(shí)，這個(gè)方程有實(shí)數(shù)解；當(dāng)△=（b-1）²-4ac≥0時(shí)，拋物線上一定存在不動(dòng)點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）
由已知可得a=2，∴

- b 4 =-2 6=2+b+c

．
解得：b=8，c=-4
∴拋物線的解析式為y=2x²+8x-4（2分）
（2）①設(shè)P（t，t）是拋物線的不動(dòng)點(diǎn)，則2t²+8t-4=t
解得：t1=

1

2

，t2=-4，∴不動(dòng)點(diǎn)P1(

1

2

，

1

2

)，P2(-4，-4)（4分）
②設(shè)P（t，t）是拋物線的不動(dòng)點(diǎn)，則at²+bt+c=t
∴at²+（b-1）t+c=0
∴當(dāng)（b-1）²-4ac≥0時(shí)，這個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，
∴當(dāng)△=（b-1）²-4ac≥0時(shí)，拋物線上一定存在不動(dòng)點(diǎn)．（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及動(dòng)點(diǎn)問題，難度較大．