Question

（2012•建鄴區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，M為BC的中點(diǎn)．⊙A的半徑為3，動(dòng)點(diǎn)O從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)以O(shè)B為半徑的⊙O與⊙A相切時(shí)，求t的值；
（2）探究：在線段BC上是否存在點(diǎn)O，使得⊙O與直線AM相切，且與⊙A相外切？若存在，求出此時(shí)t的值及相應(yīng)的⊙O的半徑；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，根據(jù)AB=AC，M為BC中點(diǎn)得到AM⊥BC，在Rt△ABM中，AB=10，BM=8得到AM=6．然后分當(dāng)⊙O與⊙A相外切與當(dāng)⊙O與⊙A相內(nèi)切兩種情況求得t值即可；
（2）分當(dāng)點(diǎn)O在BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（0＜t≤8）和當(dāng)點(diǎn)O在MC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（8＜t≤16）兩種情況求得t值即可．

解答：解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，M為BC中點(diǎn)
∴AM⊥BC
在Rt△ABM中，AB=10，BM=8∴AM=6．（1分）
當(dāng)⊙O與⊙A相外切
可得  （t+3）²=（8-t）²+6²解得t=

91

22

（3分）
當(dāng)⊙O與⊙A相內(nèi)切
可得（t-3）²=（t-8）²+6²解得t=

91

10

（5分）
∴當(dāng)t=

91

22

或t=

91

10

時(shí)，⊙O與⊙A相切．
（2）存在
當(dāng)點(diǎn)O在BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（0＜t≤8））
可得（8-t）²+6²=（8-t+3）²解得t=

7

2

（8分）
此時(shí)半徑r=

9

2

當(dāng)點(diǎn)O在MC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（8＜t≤16））
可得（t-8）²+6²=（t-8+3）²解得t=

25

2

（10分）
此時(shí)半徑r=

9

2

當(dāng)t=

7

2

或t=

25

2

時(shí)，r=

9

2

，⊙O與直線AM相切并且與⊙A相外切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及勾股定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，難度較大．