Question

如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D，若CD=CF，則

AE

AD

=

 

．

Answer 1

分析：由于AD∥BC，易得△AEF∽△CBF，那么AE：BC=AF：FC，因此只需求得AF、FC的比例關(guān)系即可．可設(shè)AF=a，F(xiàn)C=b；在Rt△ABC中，由射影定理可知AB²=AF•AC，聯(lián)立CD=CF=AB，即可求得AF、FC的比例關(guān)系，由此得解．

解答：解：設(shè)AF=a，F(xiàn)C=b；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN；
∴△AEF∽△CBF；
∴AE：BC=AF：FC=a：b；
Rt△ABC中，BF⊥AC，由射影定理，得：
AB²=AF•AC=a（a+b）；
∵AM⊥AB，BN⊥AB，CD⊥AM，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=CF=b；
∴b²=a（a+b），即a²+ab-b²=0，（

a

b

）²+（

a

b

）-1=0
解得

a

b

=

5 -1

2

（負(fù)值舍去）；
∴

AE

AD

=

a

b

=

5 -1

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形及相似三角形的性質(zhì)．能夠正確的在Rt△ABC中求得AF、FC的比例關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．