Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的直角頂點(diǎn)，斜邊在軸上，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，拋物線過，，三點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，

①求拋物線的解析式；

②平行于對稱軸的直線與軸，，分別交于點(diǎn)，，，若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的值．

（2）以為等腰三角形頂角頂點(diǎn)，為腰構(gòu)造等腰，且點(diǎn)落在軸上.若在軸上滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①；②的值為或0；（2）或．

【解析】

（1）①先由A、C的坐標(biāo)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由勾股定理求出AC，通過三角函數(shù)可求出DE，即可得到E點(diǎn)坐標(biāo)，然后將D、E代入即可；②分和兩種情況討論，根據(jù)三角函數(shù)求解；

（2）分兩種情況：①EG⊥AB，②以E為圓心DE為半徑作圓，交AB延長線于M，過E作EH⊥AB于H， D、E、M三點(diǎn)共線時(shí)．

（1）①∵點(diǎn)，點(diǎn)，

∴，，

在中，，

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴的坐標(biāo)為，即，

把和D代入，

得，

解得，

∴拋物線的解析式為.

②當(dāng)時(shí)，可得，

解得，

∴；

當(dāng)時(shí)，可得，

解得，

∴.

綜上所述，的值為或0.

（2）若在軸上滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則有兩種情況，

第一種情況，EG⊥AB，如圖，

∠A+∠B=90°，∠B+∠BCO=90°，∠B+∠BEG=90°，

∴∠A=∠BCO=∠BEG，

∴△AOC∽△COB，△AOC∽△COB，

∴，，

∴，即，

，即，

設(shè)，則，，

在直角三角形CDE中，，

∴，

解得或（舍），

，

由，得，，

∴，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為，

第二種情況如圖，以E為圓心DE為半徑作圓，交AB延長線于M，過E作EH⊥AB于H， D、E、M三點(diǎn)共線時(shí)，

則E為DM的中點(diǎn)，

由D可知E的縱坐標(biāo)為3，即EH=3，

由題可知△EHB∽△COB，

∴即,

∴HB=4，OH=OB-HB=16-4=12，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴答案為或．