【題目】【發(fā)現(xiàn)證明】
如圖1,點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.
小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,通過證明△AEF≌△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD.
【類比引申】
(1)如圖2,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長(zhǎng)線上,∠EAF=45°,連接EF,請(qǐng)根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
【聯(lián)想拓展】
(2)如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長(zhǎng).
【答案】(1)DF=EF+BE.理由見解析;(2)CF=4.
【解析】(1)把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,證出△AEF≌△AFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG,即可得出答案;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,∠EAG=90°,∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,根據(jù)勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2;關(guān)鍵全等三角形的性質(zhì)得到FG=EF,利用勾股定理可得CF.
解:(1)DF=EF+BE.理由:如圖1所示,
∵AB=AD,
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,
∵∠ADC=∠ABE=90°,∴點(diǎn)C、D、G在一條直線上,∴EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD,
∵∠BAG+∠GAD=90°,∴∠EAG=∠BAD=90°,
∵∠EAF=45°,∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣45°=45°,∴∠EAF=∠GAF,
在△EAF和△GAF中,,∴△EAF≌△GAF,∴EF=FG,∵FD=FG+DG,∴DF=EF+BE;
(2)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACG,連接FG,如圖2,
∴AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,∠EAG=90°,
∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2;
又∵∠EAF=45°,而∠EAG=90°,∴∠GAF=90°﹣45°,
在△AGF與△AEF中,,∴△AEF≌△AGF,∴EF=FG,
∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16,∴CF=4.
“點(diǎn)睛”本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,正方形的性質(zhì)的應(yīng)用,正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵,此題是一道綜合題,難度較大,題目所給例題的思路,為解決此題做了較好的鋪墊.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),經(jīng)過點(diǎn)A點(diǎn)B拋物線y=x+bx+c與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的關(guān)系式.
(2)△ABC的外接圓與y軸交于點(diǎn)D,在拋物線上是否存在點(diǎn)M使S△MBC=S△DBC,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)點(diǎn)P是直線y=-x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PB,PC,當(dāng)PB+PC+PO最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)及其最小值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A是y軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)B是反比例函數(shù)y=(k為常數(shù))在第一象限內(nèi)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)逐漸增大時(shí),△OAB的面積( 。
A. 逐漸減小 B. 逐漸增大 C. 先增大后減小 D. 不變
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的方程(x﹣2)2=a﹣5有解.則a的取值范圍是( 。
A. a=5B. a>5C. a≥5D. a≠5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】能判定一個(gè)四邊形是菱形的條件是( )
A. 對(duì)角線互相平分且相等 B. 對(duì)角線互相垂直且相等
C. 對(duì)角線互相垂直且對(duì)角相等 D. 對(duì)角線互相垂直,且一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面各選項(xiàng)給出的是三角形中各邊的長(zhǎng)度的平方比,其中不是直角三角形的是( )
A. 1∶1∶2 B. 1∶3∶4 C. 9∶25∶36 D. 25∶144∶169
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=2x2向右平移1個(gè)單位,再向上平移5個(gè)單位,則平移后的拋物線的解析式為( )
A.y=2(x+1)2+5
B.y=2(x+1)2﹣5
C.y=2(x﹣1)2﹣5
D.y=2(x﹣1)2+5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列式子變形是因式分解的是【 】
A.x2-5x+6=x(x-5)+6 B.x2-5x+6=(x-2)(x-3)
C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6 D.x2-5x+6=(x+2)(x+3)
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