【題目】如圖,四邊形ABCD為菱形,∠BCD=60°,E為對角線AC上一點(diǎn),且AE=AB,F為CE的中點(diǎn),接DF、BF,BG⊥BF與AC交于點(diǎn)G;
(1)若AB=2,求EF的長;
(2)求證:CG﹣EF=BG.
【答案】(1)﹣1;(2)詳見解析.
【解析】
(1)連接BD交AC于O,由菱形的性質(zhì)得出∠BAD=∠BCD=60°,AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,∠OAB=∠BAD=30°,由直角三角形的性質(zhì)得出OB=AB=1,OA=OB=,得出AC=2OA=2,求出CE=AC﹣AE=2﹣2,即可得出答案;
(2)設(shè)AB=2a,同(1)得OB=AB=a,OA=OB=a,得出AC=2OA=2a,求出CE=AC﹣AE=(2﹣2)a,OE=AE﹣OA=(2﹣)a,得出OF=OE+EF=a,得出OB=OF,證出△BOF是等腰直角三角形,得出∠BFG=45°,證明△BFG是等腰直角三角形,得出GF=BG,即可得出結(jié)論.
解:(1)連接BD交AC于O,如圖所示:
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠BAD=∠BCD=60°,AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,∠OAB=∠BAD=30°,
∴OB=AB=1,OA=OB=,
∴AC=2OA=2,
∵AE=AB=2,
∴CE=AC﹣AE=2﹣2,
∵F為CE的中點(diǎn),
∴EF=CE=﹣1;
(2)證明:設(shè)AB=2a,
同(1)得:OB=AB=a,OA=OB=a,
∴AC=2OA=2a,
∵AE=AB=2a,
∴CE=AC﹣AE=(2﹣2)a,OE=AE﹣OA=(2﹣)a,
∵F為CE的中點(diǎn),
∴EF=CE=(﹣1)a,
∴OF=OE+EF=(2﹣)a+(﹣1)a=a,
∴OB=OF,
∵AC⊥BD,
∴△BOF是等腰直角三角形,
∴∠BFG=45°,
∵BG⊥BF,
∴△BFG是等腰直角三角形,
∴GF=BG,
∵GF=CG﹣CF=CG﹣EF,
∴CG﹣EF=BG.
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【題目】如圖,將半徑為4的沿弦折疊,圓上點(diǎn)折疊后恰好與圓點(diǎn)重合,連接并延長交于點(diǎn),連接.點(diǎn)為弧上一點(diǎn),、分別為線段、上一動點(diǎn),則周長的最小值為___________.
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【題目】某單位為了創(chuàng)建城市文明單位,準(zhǔn)備在單位的墻(線段MN所示)外開辟一處長方形的土地進(jìn)行綠化美化,除墻體外三面要用柵欄圍起來,計劃用柵欄50米.
(1)不考慮墻體長度,問長方形的各邊的長為多少時,長方形的面積最大?
(2)若墻體長度為20米,問長方形面積最大是多少?
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【題目】如圖,要在寬為22米的大道兩邊安裝路燈,路燈的燈臂CD長2米,且與燈柱BC成120°角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直,當(dāng)燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳,求路燈的燈柱BC高度.
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【題目】某超市銷售水果時,將A、B、C三種水果采用甲、乙、丙三種方式搭配裝箱進(jìn)行銷售,毎箱的成本分別為箱中A、B、C三種水果的成本之和,箱子成本忽略不計.甲種方式每箱分別裝A、B、C三種水果6kg、3kg、1kg,乙種方式每分別裳A、B、C三種水果2kg、6kg、2kg,甲每箱的總成本是每千克A成本的15倍,每箱甲的銷售利潤率為20%,每箱甲比每箱乙的售價低25%;丙每箱在成本上提高40%標(biāo)價后打八折銷售獲利為每千克A成本的1.2倍,當(dāng)銷售甲、乙、丙三種方式的水果數(shù)量之比為2:1:5時,則銷售的總利潤率為_____.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AF平分∠CAB,交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.若AC=3,AB=5,則CE的長為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,把△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△ADE,過點(diǎn)C作CF⊥AE于F,DE交CF于G,則四邊形ADGF的周長是( 。
A.8B.4+4C.8+D.8
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【題目】兩個反比例函數(shù)y=和y=在第一象限內(nèi),點(diǎn)P在y=的圖象上,PC垂直于X軸于點(diǎn)C,交y=的圖象于點(diǎn)A,PD垂直于Y軸于D,交y=的圖象于點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)P在y=的圖象上運(yùn)動時,下列結(jié)論錯誤的是( )
A.△ODB與△OCA的面積相等
B.當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時,點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn)
C.只有當(dāng)四邊形OCPB為正方形時,四邊形PAOB的面積最大
D.=
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