【題目】在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A出發(fā),沿AB邊向點B以每秒1cm的速度移動,同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動,設兩點移動的時間為t秒,回答下列問題:

1)如圖1,當t為幾秒時,PBQ的面積等于5cm2

2)如圖2,當t=秒時,試判斷DPQ的形狀,并說明理由;

3)如圖3,以Q為圓心,PQ為半徑作⊙Q

①在運動過程中,是否存在這樣的t值,使⊙Q正好與四邊形DPQC的一邊(或邊所在的直線)相切?若存在,求出t值;若不存在,請說明理由;

②若⊙Q與四邊形DPQC有三個公共點,請直接寫出t的取值范圍。

【答案】11秒或5秒(2)直角三角形(3t=0t=﹣18+120t6﹣18

【解析】試題分析:(1)由題意可知PA=t,BQ=2t,從而得到PB=6﹣t,BQ=2t,然后根據(jù)△PQB的面積=5cm2列方程求解即可;

2)由t=,可求得AP=QB=3,PB=,CQ=9,由勾股定理可證明DQ2+PQ2=PD2,由勾股定理的逆定理可知DPQ為直角三角形;

3t=0時,點P與點A重合時,點B與點Q重合,此時圓QPD相切;當⊙Q正好與四邊形DPQCDC邊相切時,由圓的性質(zhì)可知QC=QP,然后依據(jù)勾股定理列方程求解即可;

先求得⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點時t的值,然后可確定出t的取值范圍.

試題解析:(1當運動時間為t秒時,PA=t,BQ=2t

∴PB=6﹣t,BQ=2t

∵△PBQ的面積等于5cm2,

PBBQ=6﹣t2t

解得:t1=1t2=5

答:當t1秒或5秒時,△PBQ的面積等于5cm2

2△DPQ的形狀是直角三角形.

理由:t=秒時,AP=,QB=3,

PB=6﹣=,CQ=12﹣3=9

RtPDA中,由勾股定理可知:PD2=DA2+PA2=122+2=

同理:在RtPBQRtDCQ中由勾股定理可得:DQ2=117,PQ2=

117+=,

∴DQ2+PQ2=PD2

所以△DPQ的形狀是直角三角形.

3)由題意可知圓QAB、BC不相切.

)如圖1所示:當t=0時,點P與點A重合時,點B與點Q重合.

∵∠DAB=90°

∴∠DPQ=90°

∴DP⊥PQ

∴DP為圓Q的切線.

)當⊙Q正好與四邊形DPQCDC邊相切時,如圖2所示.

由題意可知:PB=6﹣tBQ=2t,PQ=CQ=12﹣2t

Rt△PQB中,由勾股定理可知:PQ2=PB2+QB2,即(6﹣t2+2t2=12﹣2t2

解得:t1=﹣18+12,t2=﹣18﹣12(舍去).

綜上所述可知當t=0t=﹣18+12時,Q與四邊形DPQC的一邊相切.

)當t=0時,如圖1所示:⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點;

)如圖3所示:當圓Q經(jīng)過點D時,⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點.

由題意可知:PB=6﹣t,BQ=2tCQ=12﹣2t,DC=6

由勾股定理可知:DQ2=DC2+CQ2=62+12﹣2t2PQ2=PB2+QB2=6﹣t2+2t2

∵DQ=PQ,

∴DQ2=PQ2,即62+12﹣2t2=6﹣t2+2t2

整理得:t2+36t﹣144=0

解得:t1=6﹣18t2=﹣6﹣18(舍去).

0t6﹣18時,Q與四邊形DPQC有三個公共點.

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