Question

如圖，經過原點O的拋物線y=ax²-4ax交x軸于點A，頂點B在正比例函數y=2x的圖象上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上取點P，使得點B關于直線OP對稱的對稱點B′剛好在x軸上，求點P的坐標；
（3）若點M在直線OB上，點N在x軸上，求PM+MN+PN的最小值．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把已知函數解析式轉化為頂點式，然后根據頂點式解析式來求a的值；
（2）先根據軸對稱的性質得到OB=OB′，則點B′的坐標可求，再由中點坐標公式得到BB′的中點C的坐標，運用待定系數法求出直線OC的解析式，與拋物線的解析式聯立，即可求出點P的坐標；
（3）作點P關于OB的對稱點P′，關于x軸的對稱點P″，連接P′P″，交OB于M，交x軸于N，則PM+MN+PN的最小值為線段P′P″的長度，分別求出P′、P″的坐標，運用兩點間的距離公式即可求解．

解答：解：（1）∵y=ax²-4ax=a（x-2）²-4a，
∴拋物線y=ax²-4ax的對稱軸為：直線x=2，
當x=2時，y=2x=4，
∴頂點B的坐標為：（2，4），
∴-4a=4，
解得：a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x；

（2）在拋物線上取點P，使得點B關于直線OP對稱的對稱點B′剛好在x軸上，設BB′與OP交于點C，則C為BB′的中點．
∵B（2，4），
∴OB=

22+42

=2

5

，
∴OB′=OB=2

5

，
∴點B′的坐標為：（2

5

，0），
∴點C（

2+2 5

2

，

4

2

），即C（1+

5

，2），
則易求直線OC的解析式為：y=

5 -1

2

x．
由

y=-x2+4x y= 5 -1 2 x

，解得

x= 9- 5 2 y= -7+5 5 2

，

x=0 y=0

（不合題意舍去），
∴點P的坐標為（

9- 5

2

，

-7+5 5

2

）；

（3）作點P關于OB的對稱點P′，關于x軸的對稱點P″，連接P′P″，交OB于M，交x軸于N，連接PM，PN，
此時PM+MN+PN=P′M+MN+P″N=P′P″，值最�。�
∵直線OB的解析式為y=2x，PP′⊥OB，
∴設直線PP′的解析式為y=-

1

2

x+b，
∵P的坐標為（

9- 5

2

，

-7+5 5

2

），
∴-

1

2

×

9- 5

2

+b=

-7+5 5

2

，
解得b=1+2

5

，
∴直線PP′的解析式為y=-

1

2

x+1+2

5

．
 由

y=2x y=- 1 2 x+1+2 5

，解得

x= 2+4 5 5 y= 4+8 5 5

，
即PP′中點坐標為（

2+4 5

5

，

4+8 5

5

），
∴P′點坐標為（

21 5 -37

10

，

51+7 5

10

），
∵P關于x軸的對稱點P″的坐標為（

9- 5

2

，

7-5 5

2

），
∴P′P″=

( 9- 5 2 - 21 5 -37 10 )2+( 7-5 5 2 - 51+7 5 10 )2

=

3870-810 5

5

．
即PM+MN+PN的最小值為

3870-810 5

5

．

點評：本題是二次函數綜合題，考查了運用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，軸對稱的性質，中點坐標公式，兩函數交點坐標的求法等知識，綜合性較強，有一定難度．運用數形結合、方程思想是解題的關鍵．