Question

已知用圓心角為120°，面積為3π的扇形卷成一個無底圓錐形筒．
（1）求這個圓錐形筒的高；
（2）一只螞蟻要從圓錐底面圓周上一點B出發(fā)，沿圓錐側面爬到過母線AB的軸截面上另一母線AC的中點D，問螞蟻沿怎樣的路線爬行，使路程最短？最短路程是多少？

Answer 1

考點：平面展開-最短路徑問題,圓錐的計算

專題：

分析：（1）利用扇形的面積公式可求出扇形的半徑，進而求出扇形所在弧的長度圓錐的底面周長，所以底面圓的半徑可求，再利用勾股定理即可求出這個圓錐形筒的高；
（2）利用弧長公式即可求得側面展開圖的圓心角，再利用等腰三角形的性質求得相應線段即可．

解答：解：（1）∵3π=

120πR2

360

，
∴R=3，
即母線l=3 
∵3π=

1

2

lR，
∴l(xiāng)=2π，
∴2πr=2π，
∴底面半徑r=1，
高h=

32-12

=2

2

；

（2）由題意可知：∠DAC=120°÷2=60°，
根據(jù)勾股定理求得：AD=

3

2

，CD=

3 3

2

，
所以螞蟻爬行的最短距離為BD=CD=

3 3

2

．

點評：此題主要考查了圓錐側面展開圖以及最短路徑求法，求立體圖形中兩點之間的最短路線長，一般應放在平面內(nèi)，利用直角三角形求兩點之間的線段的長度．用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長．