Question

如圖1，過△ABC的頂點A作高AD，將點A折疊到點D（如圖2），這時EF為折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再將△BED和△CFD沿它們各自的對稱軸EH、FG折疊，使B、C兩點都與點D重合，得到一個矩形EFGH（如圖3），我們稱矩形EFGH為△ABC的邊BC上的折合矩形．
（1）若△ABC的面積為6，則折合矩形EFGH的面積為______；
（2）如圖4，已知△ABC，在圖4中畫出△ABC的邊BC上的折合矩形EFGH；
（3）如果△ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC邊上的高AD=______，正方形EFGH的對角線長為______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊得出△DEF≌△AEF，△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，求出矩形EFGH的面積是S_△DEF+S_△DEH+S_△DFG=S_△ABC，代入求出即可；
（2）根據(jù)已知和折疊性質(zhì)，結合圖2畫出即可；
（3）根據(jù)折疊性質(zhì)得出△AEF邊EF上高和△DEF邊EF上高相等，DH=BH，DG=GC，求出HG=BC，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出EF=FG=GH=EH=a，即可求出AD，由勾股定理求出正方形EFGH的對角線即可．
解答：解：（1）∵沿EF折疊A與D重合，
∴△DEF≌△AEF，
∵△BED和△CFD都是等腰三角形，再將△BED和△CFD沿它們各自的對稱軸EH、FG折疊，使B、C兩點都與點D重合，
∴△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，
∴矩形EFGH的面積是S_△DEF+S_△DEH+S_△DFG=S_△ABC=×6=3，
故答案為：3．

（2）如右圖所示：

（3）∵根據(jù)折疊得出△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，BC=2a，
∴△AEF邊EF上高和△DEF邊EF上高相等，DH=BH，DG=GC，
∴HG=BC=a，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=EH=a，
則AD=2EH=2a，
由勾股定理得：正方形EFGH的對角線是：=a，
故答案為：2a，a．
點評：本題考查了正方形性質(zhì)、折疊性質(zhì)、勾股定理的應用，通過做此題培養(yǎng)了學生的觀察圖形的能力和計算能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．