Question

（2011•通州區(qū)二模）已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），⊙A的半徑為

5

，過點C作⊙A的切線交x軸于點B（-4，0）．
（1）求切線BC的解析式；
（2）若點P是第一象限內(nèi)⊙A上的一點，過點P作⊙A的切線與直線BC相交于點G，且∠CGP=120°，求點G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由于BC與⊙A相切，則AC⊥BC，在Rt△ABC中，OC⊥AB，根據(jù)射影定理即可求得OC的長，從而得到C點的坐標(biāo)，進而用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式．
（2）可設(shè)出G點的坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，利用直線BC的解析式表示縱坐標(biāo)），連接AP、AG；由于GC、GP都是⊙A的切線，那么∠AGC=∠ABP=60°，在Rt△AGC中，AC的長易求得，根據(jù)∠AGC的度數(shù)，即可求得AG的長；過G作GH⊥x軸于H，在Rt△GAH中，可根據(jù)G點的坐標(biāo)表示出AH、GH的長，進而由勾股定理求得G點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1所示，連接AC，則AC=

5

．
在Rt△AOC中，AC=

5

，OA=1，則OC=2，
∴點C的坐標(biāo)為（0，2）．
設(shè)切線BC的解析式為y=kx+b，
它過點C（0，2），B（-4，0），
則有

b=2 -4k+b=0

，
解之得

k= 1 2 b=2

，
∴y=

1

2

x+2；

（2）如圖1所示，設(shè)點G的坐標(biāo)為（a，c），
∵點G在直線y=

1

2

x+2上，
∴c=

1

2

a+2，
過點G作GH⊥x軸，垂足為H點，則OH=a，GH=c=

1

2

a+2，連接AP，AG．
∵AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG （HL），
∴∠AGC=

1

2

×120°=60°．
在Rt△ACG中，
∵∠AGC=60°，AC=

5

，
∴sin60°=

AC

AG

，
∴AG=

2 15

3

．
在Rt△AGH中，AH=OH-OA=a-1，GH=

1

2

a+2，
∵AH²+GH²=AG²，
∴（a-1）²+(

1

2

a+2)2=(

2 15

3

)2，
解之得：a₁=

2 3

3

，a₂=-

2 3

3

（舍去），
點G的坐標(biāo)為（

2 3

3

，

3

3

+2 ）．

點評：此題考查的知識點有：一次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、切線的性質(zhì)、切線長定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)等，本題難度較大．