Question

如圖，海上有一燈塔P，在它周圍4千米內(nèi)有暗礁，一艘輪船以每小時(shí)9千米的速度由東向西行駛，行至A處測(cè)得燈塔P在它的北偏西75?，繼續(xù)行駛一小時(shí)到達(dá)B處，又測(cè)得燈塔P在它的北偏西60?，試問：若客輪不改變航向，是否有觸礁的危險(xiǎn)？（供考生參考的數(shù)據(jù)：tan15°≈0.2679，cot15°≈3.732，

3

≈1.732）

Answer 1

分析：要得出有無觸礁的危險(xiǎn)需求出輪船在航行過程中離點(diǎn)P的最近距離，然后與暗礁區(qū)的半徑進(jìn)行比較，若大于則無觸礁的危險(xiǎn)，若小于則有觸礁的危險(xiǎn)．

解答：解：過P作PC⊥AB于C點(diǎn)，據(jù)題意知：
AB=9×1=9，∠PAB=90°-75°=15°，∠PBC=90°-60°=30°．
設(shè)PC=x，在Rt△PCB中，PB=2PC=2x，BC=

3

PC=

3

x，
∴AC=AB+BC=9+

3

x．
在Rt△PCA中，∵∠PCA=90°，
∴

PC

AC

=tan15°，

x

9+ 3 x

=0.2679，
解得：x≈4.4983＞4，
答：若客輪不改變航向，有觸礁的危險(xiǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查解直角三角形的有關(guān)知識(shí)．通過數(shù)學(xué)建模把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．