Question

已知拋物線的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B.

（1）如圖1，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），試確定拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)M是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且, 求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若點(diǎn)P在第一象限，且PA=PO，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D. 將拋物線平移，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、D，該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，請(qǐng)?zhí)骄克倪呅?i>OABC的形狀，并說明理由.

 

          

 

                   圖1                             圖2

Answer 1

解：（1）依題意, , 解得b=-2.

          將b=-2及點(diǎn)B(3, 6)的坐標(biāo)代入拋物線解析式得

          .

          解得 c=3.

          所以拋物線的解析式為.  

   （2）∵拋物線 與y軸交于點(diǎn)A，

∴ A(0, 3).

∵ B(3, 6),

可得直線AB的解析式為.

設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，），過M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N, 則N(x, x+3). (如圖1)

           ∴ .       

           ∴.

           解得 .                                         

           ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 2) 或 (2, 3).              

（3）如圖2，由 PA=PO, OA=c, 可得.

    ∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,           圖1

    ∴ .

          ∴ .    

          ∴ 拋物線,  A（0，），P（，）, D（，0）.

          可得直線OP的解析式為.     

          ∵ 點(diǎn)B是拋物線

與直線的圖象的交點(diǎn)，

          令 .

          解得.                                圖2

          可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-b，）.         

          由平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A, 可設(shè)平移后的拋物線解析式為.

          將點(diǎn)D(，0)的坐標(biāo)代入，得.

          ∴ 平移后的拋物線解析式為. 

           令y=0, 即.

           解得.

           依題意, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-b，0）.            

           ∴ BC=.

           ∴ BC= OA.

又BC∥OA，

∴ 四邊形OABC是平行四邊形.

           ∵ ∠AOC=90°，

           ∴ 四邊形OABC是矩形.