Question

如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A——D——C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E離開(kāi)點(diǎn)B的時(shí)間為t(s)．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，線段EF與BC平行；

(2)設(shè)1＜t＜2，當(dāng)t為何值時(shí)，EF與半圓相切；

(3)當(dāng)1≤t＜2，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，問(wèn)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)給予證明，并求AP∶PC的值．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了ts時(shí)，有EF∥BC(如圖①所示)，則有BE=t，CF=4－2t．即有t=4－2t，解得．∴當(dāng)t為時(shí)，線段EF與BC平行． (2)設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了ts時(shí)，EF與半圓相切(如圖②所示)．過(guò)點(diǎn)F作KF∥BC交AB于K， 則BE=t，CF=4－2t，EK=t－(4－2t)=3t－4， EF=EB＋FC=t＋(4－2t)=4－t． 又∵， ∴． 整理，得．解得． ∵1＜t＜2，∴， ∴當(dāng)時(shí)，EF與半圓相切； (3)當(dāng)1≤t＜2時(shí)，點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化． 證明：設(shè)1≤t＜2時(shí)，E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了ts時(shí)，EF的位置如圖③所示． 則BE=t，AE=2－t，CF=4－2t． ∴．又∵AB∥DC， ∴△AEP∽△CFP． ，即點(diǎn)P的位置與t的取值無(wú)關(guān)． ∴當(dāng)1≤t＜2時(shí)，點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化，且AP∶PC值為1∶2．

提示：

這是一道幾何與代數(shù)，動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)的綜合創(chuàng)新題，難度較大，第(3)題實(shí)質(zhì)上就是求AP=PC，若能求出定值，即不發(fā)生變化．