【題目】ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α得到DBE,DE的延長線與AC相交于點F,連接DA、BF.

(1)如圖1,若ABC=α=60°,BF=AF.

求證:DABC;猜想線段DF、AF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;

(2)如圖2,若ABC<α,BF=mAF(m為常數(shù)),求的值(用含m、α的式子表示).

【答案】解:(1)證明:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,DBE=ABC=60°,BD=AB。

∴△ABD為等邊三角形。∴∠DAB=60°。∴∠DAB=ABC。

DABC。

猜想:DF=2AF。證明如下:

如答圖1所示,在DF上截取DG=AF,連接BG,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,DB=AB,BDG=BAF,

DBG與ABF中,DB=AB,BDG=BAF,DG=AF,

∴△DBG≌△ABF(SAS)。BG=BF,DBG=ABF。

∵∠DBG+GBE=α=60°,∴∠GBE+ABF=60°,即GBF=α=60°。

BG=BF,∴△BGF為等邊三角形。GF=BF。

BF=AF,GF=AF。DF=DG+GF=AF+AF=2AF。

(2)如答圖2所示,在DF上截取DG=AF,連接BG,

由(1),同理可證明DBG≌△ABF,BG=BF,GBF=α。

過點B作BNGF于點N,

BG=BF,點N為GF中點,FBN=。

在RtBFN中,NF=BFsinFBN=BFsin=mAFsin

GF=2NF=2mAFsinDF=DG+GF=AF+2mAFsin。

。

【解析】

試題分析:(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明ABD為等邊三角形,則DAB=ABC=60°,所以DABC

(2)如答圖1所示,作輔助線(在DF上截取DG=AF,連接BG),構(gòu)造全等三角形DBG≌△ABF,得到BG=BF,DBG=ABF;進而證明BGF為等邊三角形,則GF=BF=AF;從而DF=2AF。

類似,作輔助線,構(gòu)造全等三角形DBG≌△ABF,得到BG=BF,DBG=ABF,由此可知BGF為頂角為α的等腰三角形,解直角三角形求出GF的長度,從而得到DF長度,問題得解。 

練習冊系列答案
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小敏在思考問題,有如下思路:連接AC.

結(jié)合小敏的思路作答

(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2),則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?說明理由,參考小敏思考問題方法解決一下問題

(2)如圖2,在(1)的條件下,若連接AC,BD.

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②當AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是矩形,直接寫出結(jié)論.

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某校抽查的學生文章閱讀的篇數(shù)統(tǒng)計表

文章閱讀的篇數(shù)()

3

4

5

6

7及以上

人數(shù)()

20

28

m

16

12

請根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息,解答下列問題:

(1)求被抽查的學生人數(shù)和的值;

(2)求本次抽查的學生文章閱讀篇數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù);

(3)若該校共有800名學生,根據(jù)抽查結(jié)果估計該校學生在這一周內(nèi)文章閱讀的篇數(shù)為4篇的人數(shù).

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