【題目】將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α得到△DBE,DE的延長線與AC相交于點F,連接DA、BF.
(1)如圖1,若∠ABC=α=60°,BF=AF.
①求證:DA∥BC;②猜想線段DF、AF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)如圖2,若∠ABC<α,BF=mAF(m為常數(shù)),求的值(用含m、α的式子表示).
【答案】解:(1)①證明:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,∠DBE=∠ABC=60°,BD=AB。
∴△ABD為等邊三角形。∴∠DAB=60°。∴∠DAB=∠ABC。
∴DA∥BC。
②猜想:DF=2AF。證明如下:
如答圖1所示,在DF上截取DG=AF,連接BG,
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,DB=AB,∠BDG=∠BAF,
∵在△DBG與△ABF中,DB=AB,∠BDG=∠BAF,DG=AF,
∴△DBG≌△ABF(SAS)。∴BG=BF,∠DBG=∠ABF。
∵∠DBG+∠GBE=α=60°,∴∠GBE+∠ABF=60°,即∠GBF=α=60°。
又∵BG=BF,∴△BGF為等邊三角形。∴GF=BF。
又∵BF=AF,∴GF=AF。∴DF=DG+GF=AF+AF=2AF。
(2)如答圖2所示,在DF上截取DG=AF,連接BG,
由(1),同理可證明△DBG≌△ABF,BG=BF,∠GBF=α。
過點B作BN⊥GF于點N,
∵BG=BF,∴點N為GF中點,∠FBN=。
在Rt△BFN中,NF=BFsin∠FBN=BFsin=mAFsin.
∴GF=2NF=2mAFsin。∴DF=DG+GF=AF+2mAFsin。
∴。
【解析】
試題分析:(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明△ABD為等邊三角形,則∠DAB=∠ABC=60°,所以DA∥BC。
(2)①如答圖1所示,作輔助線(在DF上截取DG=AF,連接BG),構(gòu)造全等三角形△DBG≌△ABF,得到BG=BF,∠DBG=∠ABF;進而證明△BGF為等邊三角形,則GF=BF=AF;從而DF=2AF。
②與①類似,作輔助線,構(gòu)造全等三角形△DBG≌△ABF,得到BG=BF,∠DBG=∠ABF,由此可知△BGF為頂角為α的等腰三角形,解直角三角形求出GF的長度,從而得到DF長度,問題得解。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(8分)甲,乙,丙三位學生進入了“校園朗誦比賽”冠軍、亞軍和季軍的決賽,他們將通過抽簽來決定比賽的出場順序.
(1)求甲第一個出場的概率;
(2)求甲比乙先出場的概率.
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【題目】閱讀下面材料:
在數(shù)學課上,老師請同學思考如下問題:如圖1,我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E,F(xiàn),G,H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎?
小敏在思考問題時,有如下思路:連接AC.
結(jié)合小敏的思路作答:
(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2),則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?說明理由,參考小敏思考問題的方法解決一下問題;
(2)如圖2,在(1)的條件下,若連接AC,BD.
①當AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形,寫出結(jié)論并證明;
②當AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是矩形,直接寫出結(jié)論.
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【題目】我市自開展“學習新思想,做好接班人”主題閱讀活動以來,受到各校的廣泛關(guān)注和同學們的積極響應,某校為了解全校學生主題閱讀的情況,隨機抽查了部分學生在某一周主題閱讀文章的篇數(shù),并制成下列統(tǒng)計圖表.
某校抽查的學生文章閱讀的篇數(shù)統(tǒng)計表
文章閱讀的篇數(shù)(篇) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7及以上 |
人數(shù)(人) | 20 | 28 | m | 16 | 12 |
請根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息,解答下列問題:
(1)求被抽查的學生人數(shù)和的值;
(2)求本次抽查的學生文章閱讀篇數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù);
(3)若該校共有800名學生,根據(jù)抽查結(jié)果估計該校學生在這一周內(nèi)文章閱讀的篇數(shù)為4篇的人數(shù).
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【題目】如圖所示,轉(zhuǎn)盤被等分成六個扇形,并在上面依次寫上數(shù)字1、2、3、4、5、6.
(1)若自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,當它停止轉(zhuǎn)動時,指針指向奇數(shù)區(qū)的概率是多少?
(2)若自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,當它停止轉(zhuǎn)動時,指針指向的數(shù)小于或等于4的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,下列條件中不能判定AB∥CD的是( )
A. ∠3=∠4 B. ∠1=∠5 C. ∠4+∠5=180° D. ∠3+∠5=180°
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【題目】已知任意三角形ABC,
(1)如圖1,過點C作DE∥AB,求證:∠DCA=∠A;
(2)如圖1,求證:三角形ABC的三個內(nèi)角(即∠A、∠B、∠ACB)之和等于180°;
(3)如圖2,求證:∠AGF=∠AEF+∠F;
(4)如圖3,AB∥CD,∠CDE=119°,GF交∠DEB的平分線EF于點F,∠AGF=150°,求∠F.
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【題目】已知 a,b,c 分別是△ABC 的三邊長.
(1)分解因式:①ac﹣bc= ,②﹣a2+2ab﹣b2= ;
(2)若 ac﹣bc=﹣a2+2ab﹣b2,試判斷△ABC 的形狀;并說明理由.
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【題目】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為1,格點三角形(頂點是網(wǎng)格線的交點的三角形)ABC的頂點A,C的坐標分別為(-4,5),(-1,3).
(1)請在網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標系;
(2)將△ABC平移至△DEF,使得A、B、C的對應點依次是D、E、F,已知D(2,3),請在網(wǎng)格中作出△DEF;
(3)若Q(a,b)是△DEF內(nèi)一點,則△ABC內(nèi)點Q的對應點點P的坐標是 (用a、b表示)
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