Question

【題目】已知任意三角形ABC，

（1）如圖1，過點(diǎn)C作DE∥AB，求證：∠DCA=∠A；

（2）如圖1，求證：三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角（即∠A、∠B、∠ACB）之和等于180°；

（3）如圖2，求證：∠AGF=∠AEF+∠F；

（4）如圖3，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分線EF于點(diǎn)F，∠AGF=150°，求∠F．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）三角形的內(nèi)角和為180°（3）∠AGF=∠AEF+∠F（4）29.5

【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行線的性即可得到結(jié)論；

（2）因?yàn)槠浇菫?/span>180°，若能運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將三角形三個(gè)內(nèi)角集中到同一頂點(diǎn)，并得到一個(gè)平角，問題即可解決；

（3）根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；

（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEB=119°，∠AED=61°，由角平分線的性質(zhì)得到∠DEF=59.5°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

試題解析：證明：（1）∵DE∥BC，∴∠DCA=∠A；

（2）如圖1所示，在△ABC中，∵DE∥BC，∴∠B=∠1，∠C=∠2（內(nèi)錯(cuò)角相等）．

∵∠1+∠BAC+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．

即三角形的內(nèi)角和為180°；

（3）∵∠AGF+∠FGE=180°，由（2）知，∠GEF+∠EG+∠FGE=180°，∴∠AGF=∠AEF+∠F；

（4）∵AB∥CD，∠CDE=119°，∴∠DEB=119°，∠AED=61°，∵GF交∠DEB的平分線EF于點(diǎn)F，∴∠DEF=59.5°，∴∠AEF=120.5°，∵∠AGF=150°，∵∠AGF=∠AEF+∠F，∴∠F=150°﹣120.5°=29.5°．