Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中點A（-1，0）．過點A作直線y=x+c與拋物線交于點D，動點P在直線y=x+c上，從點A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度向點D運動，過點P作直線PQ∥y軸，與拋物線交于點Q，設(shè)運動時間為t（s）．
（1）直接寫出b，c的值及點D的坐標；
（2）當t=2時，求線段PQ的長；
（3）通過計算說明：t為何值時，線段PQ最長？最大值是多少？
（4）t為何值時，直線PQ把△ABC的面積分成1：3的兩部分？

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A坐標代入拋物線解析式進行計算即可求出b，代入直線解析式計算即可求出c值，聯(lián)立拋物線與直線解析式求解即可得到點D的坐標；
（2）根據(jù)直線解析式求出直線與y軸的交點F的坐標，再求出AP的長度，然后求出∠DAB=45°，設(shè)直線PQ與x軸的交點為E，解直角三角形求出PE、AE的長度，再求出點Q的橫坐標，代入拋物線解析式求出QE的長度，根據(jù)PQ=QE-PE代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；
（3）用t表示出PE、AE，再表示出點Q的橫坐標，然后代入拋物線解析式表示出QE，再根據(jù)PQ=QE-PE整理出關(guān)于t的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可；
（4）利用拋物線求出點B、C的坐標，根據(jù)點A、B的坐標可知當PQ與y軸重合時，直線PQ把△ABC的面積分成1：3的兩部分；當直線PQ與BC相交時，先根據(jù)點B、C的坐標求出∠OBC=45°并求出△ABC的面積，再用t表示出BE，然后三角形的面積列式計算即可得解．
解答：解：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=-x²+bx+3上，
∴-1-b+3=0，
記得b=2，
∵點A（-1，0）在直線y=x+c上，
∴-1+c=0，
解得c=1，
所以，b=2，c=1，
聯(lián)立，
解得（為點A坐標），，
所以點D（2，3）；

（2）解：當t=2時，AP=2，
∵直線y=x+1與y軸交點F的坐標為（0，1），
∴OA=OF=1，
∴∠DAB=45°，
∴PE=AE=2，
∴OE=AE-OA=1，
即點Q的橫坐標為1，
∴QE=-1²+2×1+3=4，
∴PQ=QE-PE=4-2=2；

（3）AP=t，由（2）知∠DAB=45°，
∴PE=AE=t，
∴點Q的橫坐標為t-1，
∴QE=-（t-1）²+2（t-1）+3=-t²+4t，
PQ=QE-PE=-t²+4t-t=-t²+3t=-（t-）²+，
∴當t=時，線段PQ最長，最大值是；

（4）拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
令y=0，則-x²+2x+3=0，即x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
令x=0，則y=3，
所以點B（3，0），C（0，3），
①顯然，當t=1時，直線PQ與y軸重合，直線PQ把△ABC的面積分成1：3的兩部分；
②直線PQ與BC相交時，∵點B（3，0），C（0，3），
∴∠OBC=45°，AB=3-（-1）=3+1=4，
根據(jù)（2），AE=AP=×t=t，
所以，BE=4-t，
所以，S_△ABC=×4×3=6，
所以，×（4-t）（4-t）=×6，
整理得，（4-t）²=3，
解得，t₁=4+（在點B右側(cè)，舍去），t₂=4-，
綜上所述，t=1或4-．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式），聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，二次函數(shù)的最大值，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，綜合性較強，難度較大，（4）要分情況討論．