Question

（2007•宿遷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O₁的直徑OA在x軸上，O₁A=2，直線OB交⊙O₁于點(diǎn)B，∠BOA=30°，P為經(jīng)過(guò)O、B、A三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求證：PB是⊙O₁的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了圓的半徑，即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)；連接O₁B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，可在構(gòu)建的直角三角形O₁BC中，根據(jù)BO₁C的度數(shù)和圓的半徑求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線的解析式，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）證PB是⊙O₁的切線，就是證O₁B⊥PA，本題主要利用勾股定理進(jìn)行秋季．可根據(jù)O₁，P，B三點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出O₁P、PB的長(zhǎng)，然后用勾股定理進(jìn)行判斷即可．也可求出直線BP與x軸的交點(diǎn)（設(shè)為D）的坐標(biāo)，然后在三角形O₁BD中，用勾股定理驗(yàn)證．道理一樣．
解答：（1）解：如圖，
連接O₁B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C
∵∠BOA=30°，半徑O₁A=2，
∴∠BO₁C=60°，O₁C=1，BC=
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，）．
設(shè)過(guò)O（0，0），A（4，0）兩點(diǎn)拋物線解析式為y=ax（x-4），
∵點(diǎn)B（3，）在拋物線上，
∴=a×3×（3-4），
∴a=-，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）．

（2）證明：設(shè)過(guò)P（2，）、B（3，）兩點(diǎn)直線的解析式為y=kx+b，
則，
∴直線的解析式為y=-x+2，
令y=0，則x=6，
∴直線PB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D（6，0），
∴OD=6，CD=3，O₁D=3+1=4，
∵OB=2
∴BD=2，
∴O₁B²+BD²=2²+（2）²=16=O₁D²
∴O₁B²+BD²=O₁D²
∴O₁B⊥BD，
即PB是⊙O₁的切線．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、切線的判斷等知識(shí)．