Question

【題目】如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，在邊上取一點(diǎn)，使，連接．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中與線段相等的兩條線段；（不再另外添加輔助線）

（2）探究：當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形是平行四邊形？并判斷四邊形是什么特殊的平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，根據(jù)與平行四邊形四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求相應(yīng)的的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由平行易得△BFE是等邊三角形，那么各邊是相等的；
（2）當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，△PEC為等邊三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四邊形EFPC是平行四邊形，再有EF=EC可證為菱形；
（3）根據(jù)各點(diǎn)到圓心的距離作答即可．

解：（1）如圖，∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠A=∠C=60°．

又∵EF∥AC，

∴∠BFE=∠A=60°，∠BEF=∠C=60°，

∴△BFE是等邊三角形，PE=EB，

∴EF=BE=PE=BF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是菱形；

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴EC=BE，

∵PE=BE，

∴PE=EC，

∵∠C=60°，

∴△PEC是等邊三角形，

∴PC=EC=PE，

∵EF=BE，

∴EF=PC，

又∵EF∥CP，

∴四邊形EFPC是平行四邊形，

∵EC=PC=EF，

∴平行四邊形EFPC是菱形；

（3）如圖所示：

當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，EC=1，則NE=ECcos30°=，

當(dāng)0＜r＜時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)r=時(shí)，有四個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)＜r＜1時(shí)，有六個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)r=1時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)r＞1時(shí)，有0個(gè)交點(diǎn)．