Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2cm，AB＝8cm，CD＝10cm．

(1)求梯形ABCD的周長；

(2)動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向點A運動；過點Q作QF⊥BC于點F．若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時整個運動隨之結(jié)束，設運動時間為t秒．問：

在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

(1) 28cm(2) 當t=或8≤t＜10或10＜t≤12時，以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形

解析:解：（1）過點D作DE⊥BC于點E

       ∵四邊形ABCD是直角梯形

       ∴四邊形ABED是矩形

       ∴AD=BE=2，AB=DE=8

       在Rt△DEC中，CE===6

      ∴梯形ABCD的周長=AB+BC+CD+DA=8+8+10+2=28cm.

………3分

（2） ① 當0≤t≤8時，過點Q作QG⊥AB于點G

      則AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，

      ∵Rt△CQF∽Rt△CDE

∴CF=，QF=，∴PG==，QG=8－

=（8－t）²+2²=t²－16t+68，

PQ²=QG²+PG²=（8－）²+（）²= 

若DQ=PD，則（10－t）²= t²－16t+68，解得：t=8；…………………5分

若DQ=PQ，則（10－t）²=，       

解得：t₁= ，t₂=＞8（舍去），此時t=；………6分

②當8＜t＜10時，PD=DQ=10－t，                

      ∴此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；……………………7分

③當t=10時，點P、D、Q三點重合，無法構(gòu)成三角形；………………………8分

④當10＜t≤12時，PD=DQ= t－10，

      ∴此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；      ………………………9分

綜上所述，當t=或8≤t＜10或10＜t≤12時，以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形.                ………………………10分

（1）過點D作DE⊥BC于點E，然后求出AD=BE=2，AB=DE=8，在Rt△DEC中，根據(jù)CE= 求出CE，即可求出BC的長，從而求得梯形ABCD的周長

（2）（i）當0≤t≤8時，過點Q作QG⊥AB于點G，過點Q作QF⊥CB于點F，根據(jù)△CQF∽△CDE得出，所以CF= ，QF= ，所以PG=t=，QG=8-，然后分別用t表示出PD²=t²-16t+68，PQ²=+64，若DQ=PD，則（10-t）²=t²-16t+68，若DQ=PQ，則（10-t）²=+64，最后解方程即可；

（ii）當8＜t＜10時，PD=DQ=10-t，此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；而當t=10時，點P、D、Q三點重合，無法構(gòu)成三角形，當10＜t≤12時，PD=DQ= t－10，此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立，從而得出最后答案；