Question

10．市政廣場(chǎng)前有塊形狀為直角三角形的綠地（如圖所示），其中AC=8m，BC=6m．為廣場(chǎng)整體布局考慮，現(xiàn)在將原綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充所增加的部分要求是以AC為直角邊的直角三角形．請(qǐng)求出擴(kuò)充建設(shè)后所得等腰三角形綠地的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，分AB=AD，AB=BD，AD=BD三種情況進(jìn)行討論即可．

解答 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
根據(jù)勾股定理得：$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10本題可分為三種情況，討論如下：
（1）如圖1，當(dāng)AB=AD=10時(shí)，

在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：
CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=6，
∴△ABD的周長(zhǎng)=10+10+6×2=32m；
（2）如圖2，當(dāng)AB=BD=10時(shí)，

∵BC=6，
∴CD=BD-BC=10-6=4，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：
∴△ABD的周長(zhǎng)=10+10+4$\sqrt{5}$=（20+4$\sqrt{5}$）m，
（3）如圖3，

當(dāng)AB為底，AD=BD時(shí)，設(shè)AD=BD=x，則CD=x-6，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：
AC²+CD²=AD²，
即8²+（x-6）²=x²，
解得：x=$\frac{25}{3}$，
∴△ABD的周長(zhǎng)=10+$\frac{25}{3}$×2=$\frac{80}{3}$m，
∴擴(kuò)充后的綠地的周長(zhǎng)為：32m或（20+4$\sqrt{5}$）m或$\frac{80}{3}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用是解答此題的關(guān)鍵．