Question

2．如圖，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，則AQ+QP的最小值是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 以CD為軸，將△ACD往上翻轉(zhuǎn)180°，由已知的邊角關(guān)系可知△A′CA為等邊三角形，求出A′C邊上的高線，由“直線外一點(diǎn)到這條直線中，垂線段最短”即可得出結(jié)論．

解答 解：以CD為軸，將△ACD往上翻轉(zhuǎn)180°，如圖，

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥A′C于E點(diǎn)，AE交CD于F點(diǎn)，
當(dāng)Q與F點(diǎn)重合，P′與E點(diǎn)重合時(shí)，AQ+QP=AF+EF=AE最短（直線外一點(diǎn)到這條直線中，垂線段最短），
∵矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，
∴∠A′CD=∠ACD=∠CAB=30°，
∴∠A′CA=60°，
又∵AC=A′C，
∴△A′CA為等邊三角形，且A′A=2AD=8，
AE=A′A•sin∠A′CA=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是以CD為軸，將△ACD往上翻轉(zhuǎn)180°，找出A′C邊上的高線．