Question

如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，邊BC的長(zhǎng)為20cm，邊AC的長(zhǎng)為hcm，在此三角形內(nèi)有一個(gè)矩形CFED，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AC，AB，BC上，設(shè)AD的長(zhǎng)為xcm，矩形CFED的面積為y（單位：cm²）．
（1）當(dāng)h等于30時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）
（2）在（1）的條件下，矩形CFED的面積能否為180cm²？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若y與x的函數(shù)圖象如圖②所示，求此時(shí)h的值．
（參考公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c，當(dāng)x=-

b

2a

時(shí)，y最大（�。┲�=

4ac-b2

4a

．）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AC的長(zhǎng)，可用AD表示出CD，根據(jù)∠A的正切值，可用AD表示出DE，由此可得出關(guān)于y，x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）將y=180代入（1）的函數(shù)式中，如果得出的方程有解，就說(shuō)明矩形的面積能夠成為180cm²，反之則不能．
（3）根據(jù)（1）的解題思路不難得出含h的關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式，然后將圖象中的（10，150）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出h的值．

解答：解：（1）∵AC=30，AD=x，
∴CD=30-x．
∵四邊形CFED為矩形，
∴DE∥BC．
∴

DE

BC

=

AD

AC

，即

DE

20

=

x

30

．
∴DE=

2

3

x．
∴y=

2

3

x（30-x）．
即y=-

2

3

x²+20x．

（2）∵

4ac-b2

4a

=

4×(- 2 3 )×0-202

4×(- 2 3 )

=150，
∴y的最大值為150．
∵150＜180，
∴矩形CFED的面積不能為180cm²．

（3）由圖象可知，當(dāng)x=10時(shí)，y=150．
當(dāng)x=10時(shí)，CD=h-10，DE=

200

h

，
∴

200

h

（h-10）=150，
解得h=40．
經(jīng)檢驗(yàn)h=40是方程的解．
∴h=40．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合了直角三角形與矩形的相關(guān)知識(shí)考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度適中．