Question

【題目】如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=AB．

（1）作∠BCD的角平分線CF，交AD于F點(diǎn)，交BE于G點(diǎn)；（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫畫法）

（2）在（1）的條件下，

①求∠BGC的度數(shù)；

②設(shè)AB=a，BC=b，則線段EF= （用含a,b的式子表示）；

③若AB=10，CF=12，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①90°；②；③

【解析】

（1）以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑作圓交AD于點(diǎn)F，連接CF交BE于點(diǎn)G即為所作；

（2）①根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，就可求出；

②根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得出DC=DF，再因為AB=AE即可求出；

③根據(jù)平行線+角平分線可推出等腰三角形，進(jìn)而可證得四邊形AHCF是平行四邊形，因為∠BGC=90°可得∠AMB=90°，所以點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)也是AH的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理可求出BM的值，即可求出答案．

（1）如下圖所示：

此圖即為所作．

（2）①∵AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，

∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠BCD，

∴∠CBE+∠BCF=90°，

∴∠BGC=180°-90°=90°

②∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠DCF

∵AD∥BC，

∴∠BCF=∠DFC，

∴∠DFC=∠DCF，

∴DF=DC，

∵AB=a，BC=b，

∴EF=，

③作∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)M，如下圖所示：

∵AH平分∠BAD，

∴∠BAH=∠DAH,

∵AD∥BC，

∴∠BAH=∠AHB，

∴AB=BH，△ABH是等腰三角形，

∵DC=DF,

∴BH=DF

∴HC=BC-BH=AD-DF=AF，

∵AD∥BC，

∴四邊形AHCF是平行四邊形，

∴AH∥CF，

∴∠BMH=∠BGC=90°，

∴點(diǎn)M是AH的中點(diǎn)，

∵AB=AE，

∴△ABE是等腰三角形，

∴點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，

∵AB=10，CF=12，

∴AH=CF=10，

∴AM=6，

在△AMB中，由勾股定理得：

,

∴BE=16．