Question

6．閱讀理解；我們來定義下面兩種數(shù)：
①平方和數(shù)：若一個三位數(shù)或三位以上的整數(shù)分成左，中，右三個數(shù)后滿足：中間數(shù)=左邊數(shù)的平方加上右邊數(shù)的平方，我們就稱該整數(shù)為平方和數(shù)，比如：對于整數(shù)251，它的中間數(shù)是5，左邊數(shù)是2，右邊數(shù)是1，∵2²+1²=5，∴251為一個平方和數(shù)；再比如3254，∵3²+4²=25，∴3254為一個平方和數(shù)；當然.152，4253這兩個數(shù)肯定也是平方和數(shù)；
②雙倍積數(shù)：若一個三位數(shù)或三位以上的整數(shù)分成左，中，右三個數(shù)后滿足：中間數(shù)=2×左邊數(shù)×右邊數(shù)，我們就稱該整數(shù)為雙倍積數(shù)；比如：對于整數(shù)163，它的中間數(shù)為6，左邊數(shù)為1，右邊數(shù)為3，∵2×1×3=6，∴163是一個雙倍積數(shù)；再比如3305，2×3×5=30，∴3305是一個雙倍積數(shù)；當然，361，5303這兩個數(shù)也是雙倍積數(shù)；
注意：在下列問題中，我們統(tǒng)一用字母a表示一個整數(shù)分出來的左邊數(shù)，用字母b表示一個整數(shù)分出來的右邊數(shù)，請根據(jù)上述定義來完成下面問題：
（1）如果一個三位整數(shù)為平方和數(shù)，且十位數(shù)字是8，則該三位整數(shù)是282；如果一個三位整數(shù)為雙倍積數(shù)，且十位數(shù)字是4，則該三位整數(shù)是142或241；
（2）若一個整數(shù)既是平方和數(shù)又是雙倍積數(shù)，則a，b滿足什么數(shù)量關系？請說明理由．
（3）若$\overline{a585b}$為一個平方和數(shù)，$\overline{a504b}$為一個雙倍積數(shù)，求a²-b²．

Answer 1

分析 （1）可以用試驗的辦法確定中間數(shù)字是8的三位平方和數(shù)和中間數(shù)字是4的三位雙倍積數(shù)；
（2）先用acb表述出該整數(shù)，通過它既是平方數(shù)又是雙倍積數(shù)得到：a²+b²=c，c=2ab，從而確定a、b間關系．
（3）因為a²-b²=（a+b）（a-b），a+b=$\sqrt{{a}^{2}+2ab+^{2}}$，a-b=$\sqrt{{a}^{2}-2ab+^{2}}$由于若$\overline{a585b}$為一個平方和數(shù)，$\overline{a504b}$為一個雙倍積數(shù)根據(jù)平方和數(shù)和雙倍積數(shù)的定義，可得到a²+b²，2ab的值，代入即可．

解答 解：（1）因為2²+2²=8
所以一個三位整數(shù)為平方和數(shù)，且十位數(shù)字是8，則該三位整數(shù)是282；
因為2×1×2=4，
所以一個三位整數(shù)為雙倍積數(shù)，且十位數(shù)字是4，則該三位整數(shù)是142或241．
故答案為：282，142或241．
（2）a，b滿足相等關系，即a=b．理由：
一個整數(shù)，字母a表示左邊數(shù)，字母b表示右邊數(shù)，該整數(shù)的中間部分用字母c表示
由于該整數(shù)是平方數(shù)，所以a²+b²=c，
由于該整數(shù)是雙倍積數(shù)，所以c=2ab，
所以a²+b²=2ab，即a²+b²-2ab=0
所以（a-b）²=0，即a=b．
（3）若$\overline{a585b}$為一個平方和數(shù)，則a²+b²=585
$\overline{a504b}$為一個雙倍積數(shù)，則2ab=504
所以a²-b²=（a+b）（a-b）
=$\sqrt{{a}^{2}+2ab+^{2}}$×$\sqrt{{a}^{2}-2ab+^{2}}$
=$\sqrt{1089}$×$\sqrt{81}$
=33×9=297．

點評 本題考查了完全平方公式、因式分解的相關知識，屬于創(chuàng)新類題目．理解平方和數(shù)和雙倍積數(shù)是解決本題的關鍵．