如圖，拋物線y=-x2+12x-30的頂點(diǎn)為A，對(duì)稱軸AB與x軸交于點(diǎn)B．在x上方的拋物線上有C、D兩點(diǎn)，它們關(guān)于AB對(duì)稱，并且C點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，CB⊥DB．
（1）求出此拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找出點(diǎn)Q，使它到A、C兩點(diǎn)的距離相等，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）延長(zhǎng)DB交拋物線于點(diǎn)E，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△DEP的面積等于△DEC的面積？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
提示：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

【答案】分析：（1）將已知的拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到拋物線對(duì)稱軸方程以及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）此小題首先要求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；對(duì)于Rt△CBD來(lái)說(shuō)，C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則CB=BD，那么△CBD是等腰直角三角形，若設(shè)拋物線對(duì)稱軸與CD的交點(diǎn)為G，那么△BCG也是等腰直角三角形，可先設(shè)出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再由Rt△BCG的特殊形狀表示出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．拋物線對(duì)稱軸已知，設(shè)出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)后，依坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式表示出CQ、AQ的長(zhǎng)，由CQ=AQ列出方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）若△DEP、△DEC的面積相等，那么點(diǎn)P與點(diǎn)C到直線DE的距離相同；
①過(guò)點(diǎn)C作平行于DE的直線，該直線與拋物線的交點(diǎn)為符合條件的點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P、C到直線DE的距離相同；
②過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC，交x軸于點(diǎn)F，此時(shí)四邊形DCBF是平行四邊形，那么DF⊥DE，且DF=BC，那么過(guò)點(diǎn)F與直線DE平行的直線與拋物線的交點(diǎn)也是符合條件的點(diǎn)P．
解答：解：（1）∵y=-x2+12x-30=-（x-6）2+6
∴此拋物線的對(duì)稱軸為x=6，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（6，6）．

（2）∵C、D關(guān)于AB對(duì)稱，
∴BC=BD，CD∥x軸；
又∵CB⊥DB，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠DCB=45°，即△BCG為等腰直角三角形，CG=BG；
設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a，則CG=6-a，BG=CG=6-a，即C（a，6-a），代入y=-x2+12x-30，得：
6-a=-a2+12a-30，解得：a1=4、a2=9（舍）
∴C（4，2）；
設(shè)Q（6，m），則AQ=6-m，CQ=
∵AQ=CQ，
∴6-m=，
解得m=
∴Q（6，）．

（3）設(shè)直線DE的解析式：y=kx+b，代入D（8，2）、B（6，0），得：
，
解得
故直線DE：y=x-6；
若△DEP的面積等于△DEC的面積，則點(diǎn)C、P到直線DE的距離相等；
①過(guò)點(diǎn)C作直線l1∥DE，可設(shè)其解析式為：y=x+b1，代入C（4，2）解得：b1=-2；
即：直線l1 y=x-2，聯(lián)立拋物線的解析式有：
，
解得、
故P1（7，5）．
②過(guò)點(diǎn)D作DF∥CB，交x軸于點(diǎn)F，則四邊形DCBF為平行四邊形，且有：DF⊥DE，BF=CD=4，即F（10，0）；
過(guò)點(diǎn)F作直線l2∥DE，同①易求得直線l2：y=x-10，聯(lián)立拋物線的解析式，有：
，
解得、
故P2（，）、P3（，）．
綜上，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（7，5）、P2（，）、P3（，）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了了二次函數(shù)、等腰直角三角形、平行四邊形等綜合知識(shí)；（2）題中，由拋物線的對(duì)稱性得出△BCD的特殊形狀，進(jìn)而得出C點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的突破口；最后一題，找出經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線DE平行的兩條直線是解題的關(guān)鍵，容易漏解．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

26、已知：如圖，拋物線C1，C2關(guān)于x軸對(duì)稱；拋物線C1，C3關(guān)于y軸對(duì)稱．拋物線C1，C2，C3與x軸相交于A、B、C、D四點(diǎn)；與y相交于E、F兩點(diǎn)；H、G、M分別為拋物線C1，C2，C3的頂點(diǎn)．HN垂直于x軸，垂足為N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|(zhì)HG|
（1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9個(gè)點(diǎn)中，四個(gè)點(diǎn)可以連接成一個(gè)四邊形，請(qǐng)你用字母寫(xiě)出下列特殊四邊形：菱形
AHBG
；等腰梯形
HGEF
；平行四邊形
EGFM
；梯形
DMHC
；（每種特殊四邊形只能寫(xiě)一個(gè)，寫(xiě)錯(cuò)、多寫(xiě)記0分）
（2）證明其中任意一個(gè)特殊四邊形；
（3）寫(xiě)出你證明的特殊四邊形的性質(zhì)．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若直線y=x交拋物線于M，N兩點(diǎn)，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設(shè)P為直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點(diǎn)F．問(wèn)：在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使得以P，E，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P及相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（-1，0），與y軸交于點(diǎn)B，直線x=1交x軸于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)B、M兩點(diǎn)的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸x=1上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使精英家教網(wǎng)以P為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并且與直線BM相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E（0，-3）精英家教網(wǎng)．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行．直線y=-x+m過(guò)點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長(zhǎng)度的最大值；
（3）在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸兩交點(diǎn)是A（-1，0），B（3，0），則如圖可知y＜0時(shí)，x的取值范圍是（　�。�
A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案