Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D，連接CD、BD．
（1）求證：△ABC∽△OEB；
（2）設(shè)∠CDB=α，∠ACB=β，試找出α與β間的數(shù)量關(guān)系式，并給予證明；
（3）若AB=2，α=120°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可以得到，∠ABC=90°證得∠ABC=∠OEB，根據(jù)等邊對(duì)等角證得∠OBC=∠OCB，從而證明兩個(gè)三角形相似；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可以利用∠BDC表示出∠A，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可求得∠ACB的度數(shù)，則根據(jù)圓周角的定理求得∠AOB的度數(shù)，證明△AOB是等邊三角形，然后利用扇形的面積公式求解．
解答：證明：（1）∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
又∵OD⊥BC于E，
∴AB∥OD，∠ABC=∠OEB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴△ABC∽△OEB；

（2）∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-α，
∵直角△ABC中，∠A+∠ACB=90°，
∴180°-α+β=90°，
∴α-β=90°；

（3）∵α=120°
∴β=120°-90°=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴S_扇形AOB==，
S_△AOB==，
則S_陰影=-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形的面積公式，圓周角定理，正確證明△AOB是等邊三角形是關(guān)鍵．