Question

如圖，將正方形紙片的兩角分別折疊，使頂點A落在A′處，頂點D落在D′處，BC、BE為折痕，點B、A′、D′在同一條直線上。

（1）猜想折痕BC和BE的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）寫出圖中∠D′BE的余角與補角；
（3）延長D′B、CA相交于點F，若∠EBD=330，求∠ABF和∠CBA的度數(shù)。

Answer 1

（1）BC⊥BE，理由略（3分）
（2）余角∠CBA′，∠CBA，∠BED，∠BED′，補角∠ABE（5分）
（3）∠ABF=660，∠CBA=570（4分）

解析（1）由于△A′CB與△ACB關(guān)于BC對稱，即△A′CB≌△ACB，那么∠A′BC=∠ABC，同理∠D′BE=∠DBE，
而∠A′BC+∠ABC+∠D′BE+∠DBE=180°，從而易求∠A′BC+∠D′BE=90°，即可證BC⊥BE；
（2）由（1）知△A′CB≌△ACB，那么∠BA′C=∠A=90°，即∠A′CB+∠CBA′=90°，而∠A′BC+∠D′BE=90°，利用等角的余角相等可知∠CBA′=∠D′BE，即知∠ACB=∠A′CB=∠D′BE=∠DBE，也就易求∠D′BE的余角、補角；
（3）由∠EBD=33°，知∠D′BD=66°，利用對頂角相等可知∠ABF=66°，從而易求∠A′BA，也就可求∠CBA．

解：（1）BC⊥BE；
∵△A′CB與△ACB關(guān)于BC對稱，
∴△A′CB≌△ACB，
∴∠A′BC=∠ABC，
同理有∠D′BE=∠DBE，
又∵∠A′BC+∠ABC+∠D′BE+∠DBE=180°，
∴∠A′BC+∠D′BE=90°，
∴BC⊥BE；
（2）由（1）知△A′CB≌△ACB，
∴∠BA′C=∠A=90°，
∴∠A′CB+∠CBA′=90°，
又∵∠A′BC+∠D′BE=90°，
∴∠CBA′=∠D′BE，
同理∠ACB=∠A′CB=∠D′BE=∠DBE，
∴∠D′BE的余角是∠CBA′，∠CBA，∠BED，∠BED′，補角是∠ABE；
（3）∵∠EBD=33°，
∴∠D′BD=66°，
∴∠ABF=66°，
∴∠A′BA=180°-66°=114°，
∴∠CBA=1/2×114°=57°