Question

如圖，BE、CF是△ABC的高，它們相交于點O，點P在BE上，Q在CF的延長線上且BP=AC，CQ=AB，
（1）求證：△ABP≌△QCA．
（2）AP和AQ的位置關系如何，請給予證明．

Answer 1

分析：（1）由于∠AEB=90°，∠AFC=90°，可得∠ABE=∠ACQ，進而利用SAS得證△ABP≌△QCA．
（2）由（1）中的全等得∠BAP=∠Q，又有CF⊥AB，通過角之間的轉化即可得出結論．

解答：證明：（1）∵BE、CF是△ABC的高，即∠AEB=90°，∠AFC=90°，
∴∠ABP+∠BAE=90°，∠ACQ+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠ACQ，
又BP=AC，CQ=AB，
∴△ABP≌△QCA．
（2）PA⊥AQ．
證明：由△ABP≌△QCA得∠BAP=∠Q，
∵∠Q+∠BAQ=90°，∴∠BAP+∠BAQ=90°，即∠PAQ=90°，
∴PA⊥AQ．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質，應熟練掌握．