【題目】如圖,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點B落在OA邊上的點E處,分別以O(shè)C,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,D,C三點.
(1)求AD的長及拋物線的解析式;
(2)一動點P從點E出發(fā),沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動,同時動點Q從點C出發(fā),沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動,當(dāng)點P運動到點C時,兩點同時停止運動,設(shè)運動時間為t秒,當(dāng)t為何值時,以P,Q,C為頂點的三角形與ADE相似?
(3)點N在拋物線對稱軸上,點M在拋物線上,是否存在這樣的點M與點N,使以M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M與點N的坐標(biāo)(不寫求解過程);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x(2)t=或(3)①M1(4, ),N1(4,﹣);②M2(12,﹣32),N2(4,﹣26);③M3(﹣4,﹣32),N3(4,﹣38).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)折疊圖形的軸對稱性,△CED、△CBD全等,首先在Rt△CEO中求出OE的長,進而可得到AE的長;在Rt△AED中,AD=AB﹣BD、ED=BD,利用勾股定理可求出AD的長.進一步能確定D點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.
(2)由于∠DEC=90°,首先能確定的是∠AED=∠OCE,若以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似,那么∠QPC=90°或∠PQC=90°,然后在這兩種情況下,分別利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出對應(yīng)的t的值.
(3)由于以M,N,C,E為頂點的四邊形,邊和對角線都沒明確指出,所以要分情況進行討論:
①EC做平行四邊形的對角線,那么EC、MN必互相平分,由于EC的中點正好在拋物線對稱軸上,所以M點一定是拋物線的頂點;
②EC做平行四邊形的邊,那么EC、MN平行且相等,首先設(shè)出點N的坐標(biāo),然后結(jié)合E、C的橫、縱坐標(biāo)差表示出M點坐標(biāo),再將點M代入拋物線的解析式中,即可確定M、N的坐標(biāo).
試題解析:方法一:
解:(1)∵四邊形ABCO為矩形,
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8,AO=BC=10.
由題意,△BDC≌△EDC.
∴∠B=∠DEC=90°,EC=BC=10,ED=BD.
由勾股定理易得EO=6.
∴AE=10﹣6=4,
設(shè)AD=x,則BD=ED=8﹣x,由勾股定理,得x2+42=(8﹣x)2,
解得,x=3,∴AD=3.
∵拋物線y=ax2+bx+c過點D(3,10),C(8,0),O(0,0)
∴,
解得
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+x.
(2)∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,
∴∠DEA=∠OCE,
由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5.
而CQ=t,EP=2t,∴PC=10﹣2t.
當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,
∴,
即,
解得t=.
當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,
∴,
即,
解得t=.
∴當(dāng)t=或時,以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似.
(3)假設(shè)存在符合條件的M、N點,分兩種情況討論:
①
EC為平行四邊形的對角線,由于拋物線的對稱軸經(jīng)過EC中點,若四邊形MENC是平行四邊形,那么M點必為拋物線頂點;
則:M(4, );而平行四邊形的對角線互相平分,那么線段MN必被EC中點(4,3)平分,則N(4,﹣);
②EC為平行四邊形的邊,則EC∥MN,EC=,MN設(shè)N(4,m),則M(4﹣8,m+6)或M(4+8,m﹣6);
將M(﹣4,m+6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣38,此時 N(4,﹣38)、M(﹣4,﹣32);
將M(12,m﹣6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣26,此時 N(4,﹣26)、M(12,﹣32);
綜上,存在符合條件的M、N點,且它們的坐標(biāo)為:
①M1(﹣4,﹣32),N1(4,﹣38);②M2(12,﹣32),N2(4,﹣26);③M3(4, ),N3(4,﹣).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(﹣1,2),B(﹣3,1)C(0,﹣1)
(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1
(2)若將△ABC向右平移2個單位得到△A′B′C′,則A點的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是 .
(3)AC的長等于 , △ABC的面積是 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB與CD相交于點O,OF,OD分別是∠AOE,∠BOE的平分線.
(1)寫出∠DOE的補角;
(2)若∠BOE=62°,求∠AOD和∠EOF的度數(shù);
(3)試問射線OD與OF之間有什么特殊的位置關(guān)系?為什么?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將某圖形的各頂點的橫坐標(biāo)減去2,縱坐標(biāo)保持不變,可將該圖形( )
A.向右平移2個單位
B.向左平移2個單位
C.向上平移2個單位
D.向下平移2個單位
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知A(, ),B(2, )為反比例函數(shù)y=圖像上的兩點,動點P(x,0)在x軸正半軸上運動,當(dāng)線段AP與線段BP之差達到最大時,點P的坐標(biāo)是( )
A. (,0) B. (1,0) C. (,0) D. (,0)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于實數(shù)a,b,我們定義符號max{a,b}的意義為:當(dāng)a≥b時,max{a,b}=a;當(dāng)a<b時,max{a,b]=b,如:max{4,﹣2}=4,max{3,3}=3,若關(guān)于x的函數(shù)為y=max{x+3,﹣x+1},則該函數(shù)的最小值是( 。
A.0
B.2
C.3
D.4
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com