Question

如圖，AB是⊙O的直徑，OD⊥AC，垂足為D．AC交⊙O于E，∠AOD=∠C
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求證：AD•AC=2OA²；
（3）若AE=8，tanA=，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以證明∠ABC=∠ADO=90°，即AB⊥BC，則BC是圓的切線；
（2）首先證明△AOD∽△ACB，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可證得；
（3）在直角△BAE中利用三角函數(shù)求得BE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后在直角△ABC中利用三角函數(shù)求得BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，根據(jù)EC=AC-AE即可求解．
解答：證明：（1）∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∵在△AOD和△ACB中，∠A=∠A，∠AOD=∠C，
∴∠ABC=∠ADO=90°，即AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；

（2）∵在△AOD和△ACB中，∠A=∠A，∠AOD=∠C，
∴△AOD∽△ACB，
∴=，即=，
∴AD•AC=2OA²；

（3）∵在直角△ABE中，tanA==，
∴BE=AE×=8×=6，
則AB===10，
又∵在直角△ABC中，tanA==，
∴BC=AB=×10=，
AC===，
∴EC=AC-AE=-8=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理、三角函數(shù)，正確求得AB的長(zhǎng)是關(guān)鍵．