11、小明是一位刻苦學(xué)習(xí)、勤于思考、勇于創(chuàng)新的同學(xué)，一天他在解方程x2=-1時，突發(fā)奇想：x2=-1在實數(shù)范圍內(nèi)無解，如果存在一個數(shù)i，使i2=-1，那么若x2=-1，則x=±i，從而x=±i是方程x2=-1的兩個根．據(jù)此可知：①i可以運算，例如：i3=i2•i=-1×i=-i，則i2011=
-i．
，②方程x2-2x+2=0的兩根為
1±i．
（根用i表示）
分析：（1）根據(jù)題中規(guī)律可知i1=1，i2=-1，i3=-i，i4=1，可以看出4個一次循環(huán)，可以此求解．
（2）把方程x2-2x+2=0變形為（x-1）2=-1，根據(jù)題目規(guī)律和平方根的定義可求解．
解答：解：（1）i2011=i502×4+3=-i．
（2）x2-2x+2=0
（x-1）2=-1
x-1=±i
x=1+i或x=1-i．
故答案為：-i；1±i．
點評：本題考查了用配方法解一元二次方程以及找出題目中的規(guī)律，從而求得解．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

20、小明是一位刻苦學(xué)習(xí)、勤于思考、勇于創(chuàng)新的同學(xué)，一天他在解方程x2=-1時，突發(fā)奇想：x2=-1在實數(shù)范圍內(nèi)無解，如果存在一個數(shù)i，使i2=-1，那么x2=i2，則x=±i，從而x=±i是方程x2=-1的兩個根．
（1）據(jù)此可知：i3=i2•i=-i，i4=
1
，i42=
-1
；
（2）解方程：x2-2x+2=0（根用i表示）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

30、小明是一位刻苦學(xué)習(xí)，勤于思考的同學(xué)，一天，他在解方程時突然產(chǎn)生了這樣的想法，x2=-1，這個方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，如果存在一個數(shù)i2=-1，那么方程x2=-1可以變成x2=i2，則x=±i，從而x=±i是方程x2=-1的兩個解，小明還發(fā)現(xiàn)i具有以下性質(zhì)：
i1=i，i2=-1，i3=i2•i=-i；i4=（i2）2=（-1）2=1，i5=i4•i=i，i6=（i2）3=（-1）3=-1，i7=i6•i=-i，i8=（i4）2=1，…
請你觀察上述等式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：i4n+1=
i
，i4n+2=
-1
，i4n+3=
-i
，i4n+4=
1
（n為自然數(shù)）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、小明是一位刻苦學(xué)習(xí)、勤于思考、勇于創(chuàng)造的同學(xué)．一天，他在解方程時，突然產(chǎn)生了這樣的想法，x2+1=0這個方程雖然在實數(shù)范圍內(nèi)無解，但是，假如存在這樣一個數(shù)i，使i2=-1，那么方程x2+1=0可以變?yōu)閤2=i2，則x=±i是方程x2+1=0兩個根．小明還發(fā)現(xiàn)i具有如下性質(zhì)：
i1=i；i2=-1；i3=i2×I=（-1）×i=-i；i4=（i2）2=（-1）2=1；i5=i4×i=i；i6=（i2）3=（-1）3=-1；i7=i6×i=-i；i8=（i4）2=1…，請你觀察上述各式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：i4n+1=
i
，i4n+2=
-1
，i4n+3=
-i
（n為自然數(shù)）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

小明是一位刻苦學(xué)習(xí)、勤于思考、勇于創(chuàng)新的同學(xué)。一天，他在解方程時，突然產(chǎn)生了這樣的想法：這個方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，如果存在一個數(shù)使，那么方程可以變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic1/imagenew2/czsx/6/79566.png" >，則，從而是方程的兩個根．小明還發(fā)現(xiàn)具有如下性質(zhì)：

……
請你觀察上述等式，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：      ，      ，      ，      （為自然數(shù)）

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