Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BOC=108°，過(guò)點(diǎn)C作直線CD分別交直線AB和⊙O于點(diǎn)D、E，連接OE，DE=

1

2

AB，OD=2．
（1）求∠CDB的度數(shù)；
（2）我們把有一個(gè)內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形．它的腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的比（或者底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的比）等于黃金分割比

5 -1

2

．
①寫(xiě)出圖中所有的黃金三角形，選一個(gè)說(shuō)明理由；
②求弦CE的長(zhǎng)；
③在直線AB或CD上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)C、D除外），使△POE是黃金三角形？若存在，畫(huà)出點(diǎn)P，簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)出點(diǎn)P的方法（不要求證明）；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直徑，DE=

1

2

AB，
∴OA=OC=OE=DE，
則∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC，
設(shè)∠CDB=x，則∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x，
又∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°，
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠CDB=36°．

（2）①有三個(gè)：△DOE，△COE，△COD．
∵OE=DE，∠CDB=36°，
∴△DOE是黃金三角形；
∵OC=OE，∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=36°．
∴△COE是黃金三角形；
∵∠COB=108°，
∴∠COD=72°；
又∠OCD=2x=72°，
∴∠OCD=∠COD．
∴OD=CD，
∴△COD是黃金三角形；

②∵△COD是黃金三角形，
∴

OC

OD

=

5 -1

2

，
∵OD=2，
∴OC=

5

-1，
∵CD=OD=2，DE=OC=

5

-1，
∴CE=CD-DE=2-（

5

-1）=3-

5

；

③存在，有三個(gè)符合條件的點(diǎn)P₁、P₂、P₃，
如圖所示，
ⅰ以O(shè)E為底邊的黃金三角形：作OE的垂直平分線分別交直線AB、CD得到點(diǎn)P₁、P₂；
ⅱ以O(shè)E為腰的黃金三角形：點(diǎn)P₃與點(diǎn)A重合．