Question

如圖：水平地面上有一個(gè)球，現(xiàn)用如下方法測(cè)量球的表面積（球的表面積公式S=4πR²），用銳角∠BAC=60°的直角三角板的斜邊緊靠球面，P為切點(diǎn)，一條直角邊AC緊靠地面，并使三角板與地面垂直，如果測(cè)得PA=1m，則球的表面積等于________．

Answer 1

12π
分析：連接OA，由AP與AD為圓O的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到∠OPA與∠ODA都為直角，由∠BAC=60°，根據(jù)平角定義得到∠PAD為120°，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到∠OAP等于∠PAD的一半，得出∠OAP=60°，在直角三角形OAP中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得出OP=APtan60°，進(jìn)而求出OP的長(zhǎng)，即為半徑R，代入球的表面積公式即可求出．
解答：解：連接OA，∵AB與AD都為圓O的切線，
∴∠OPA=90°，∠ODA=90°，
∵∠BAC=60°，∴∠PAD=120°，
∵PA、AD都是⊙O的切線，
∴∠OAP=∠PAD=60°，
在Rt△OPA中，PA=1cm，tan60°=，
則OP=APtan60°=cm，即⊙O的半徑R為cm．
則球的表面積S=4πR²=4π•=12π．
故答案為：12π
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，以及銳角三角函數(shù)，見(jiàn)了有切線，圓心切點(diǎn)連，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，其中切線長(zhǎng)定理為：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等，且此點(diǎn)與圓心地連線平分兩切線的夾角，靈活運(yùn)用此定理是本題的突破點(diǎn)．