Question

(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(－2，－4)，OB＝2，拋物線y

＝ax²＋bx＋c經(jīng)過點A、O、B三點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點M是拋物線對稱軸上一點，試求AM＋OM的最小值；

(3)在此拋物線上，是否存在點P，使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形．若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

：解：（1）由OB＝2，可知B(2,0)

將A(－2，－4)，B(2,0)，O(0,0)三點坐標(biāo)代入拋物線y＝ax²＋bx＋c，得

解得：

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為。

（2）由，可得，拋物線的對稱軸為直線，且對稱軸是線段OB的垂直平分線，連結(jié)AB交直線于點M，即為所求。

∴MO=MB，則MO+MA=MA+MB=AB

作AC⊥x軸，垂足為C，則AC=4，BC=4，∴AB=

∴MO+MA的最小值為。

（3）①若OB∥AP，此時點A與點P關(guān)于直線對稱，

由A(－2，－4),得P(4,－4),則得梯形OAPB。

②若OA∥BP，設(shè)直線OA的表達(dá)式為，由A(－2，－4)得，。

設(shè)直線BP的表達(dá)式為，由B(2,0)得，，即，

∴直線BP的表達(dá)式為           

由，解得，（不合題意，舍去）

當(dāng)時，，∴點P()，則得梯形OAPB。

③若AB∥OP，設(shè)直線AB的表達(dá)式為，則

，解得，∴AB的表達(dá)式為。

∴直線OP的表達(dá)式為。

由，得 ，解得，（不合題意，舍去），此時點P不存在。

綜上所述，存在兩點P(4,－4)或P()使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形。

【解析】略