直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．將其繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，
（1）如圖，當(dāng)A′B′邊經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，邊A′C與AB所在直線交于點(diǎn)D，過點(diǎn) D作DE∥A′B′交CB′邊于點(diǎn)E，連接BE．
①當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，設(shè)AD=x，BE=y，求y與x之間的函數(shù)解析式及定義域；
②當(dāng)S△BDE=
13
S△ABC時(shí)，求AD的長．
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分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖）．根據(jù)平行線DE∥A'B'分線段成比例知
CD
CA′
=
CE
CB′
、及由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此證明△CAD∽△CBE；根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例、直角三角形的性質(zhì)及∠A=30°求得y=
3
3
x（0＜x＜2）；
②先求得△ABC的面積，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，AD=x，BD=AB-AD=2-x；當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，AD=x，BD=x-2．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°．（1分）
由旋轉(zhuǎn)可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB
∴△B′BC為等邊三角形．（2分）
∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）

（2）①當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖）．
∵DE∥A'B'，
∴
CD
CA′
=
CE
CB′
．（1分）
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴
CD
CA
=
CE
CB
，（1分）
∴
CD
CE
=
CA
CB
．
∴△CAD∽△CBE；（1分）
∴
BE
AD
=
BC
AC
．
∵∠A=30°
∴
y
x
=
BC
AC
=
3
3
．（1分）
∴y=
3
3
x（0＜x＜2）（2分）
②當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上．
AD=x，BD=AB-AD=2-x，
∵DE∥A′B′，
∴
CD
CA′
=
CE
CB′
，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴
CD
CA
=
CE
CB
，
∴
CD
CE
=
CA
CB
，
∴△CAD∽△CBE，
∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，
∴∠DBE=90°．
此時(shí)，S=S△BDE=
1
2
BD×BE=
1
2
(2-x)×
3
x
3
=
-
3
x2+2
3
x
6
．
當(dāng)S=
1
3
S△ABC時(shí)，
-
3
x2+2
3
x
6
=
3
6
．
整理，得x2-2x+1=0．
解得x1=x2=1，即AD=1．（2分）
當(dāng)90°＜α＜120°時(shí)，點(diǎn)D在AB的延長線上（如圖）．
仍設(shè)AD=x，則BD=x-2，∠DBE=90°，S=S△BDE=
1
2
BD×BE=
1
2
(x-2)×
3
x
3
=
3
x2-2
3
x
6
．
當(dāng)S=
1
3
S△ABC時(shí)，
3
x2-2
3
x
6
=
3
6
．
整理，得x2-2x-1=0．
解得x1=1+
2
，x2=1-
2
（負(fù)值，舍去）．
即AD=1+
2
．（2分）
綜上所述：AD=1或AD=1+
2
．
點(diǎn)評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)、全等三角形、解直角三角形、平行線分線段成比例等知識．解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，分類討論．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=3cm，將直角三角板繞頂點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△A1B1C的位置，沿CB向左平移使B1點(diǎn)落在△ABC的斜邊AB上，點(diǎn)B1平移到點(diǎn)B2，則點(diǎn)B由B?B1?B2運(yùn)動的路程是（　�。�
A、（3π+3-
3
）cm
B、（3π-3+
3
）cm
C、（
3
2
π+3-
3
）cm
D、（
3
2
π-3+
3
）cm

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=3cm，將直角三角板ABC繞著直角頂點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△A1B1C1的位置，再沿CB向左平移使點(diǎn)B1落在△ABC的斜邊AB上，點(diǎn)A1平移到點(diǎn)A2的位置，則點(diǎn)A?A1?A2運(yùn)動的路徑長度是
 
cm．（結(jié)果用帶π和根號的式子表示）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．將其繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C邊與AB所在直線交于點(diǎn)D，過點(diǎn) D作DE∥A'B'交CB'邊于點(diǎn)E，連接BE．
（1）如圖1，當(dāng)A'B'邊經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，α=
60
60
°；
（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，若∠CBD的度數(shù)是∠CBE度數(shù)的m倍，猜想m的值并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)BC=1，AD=x，△BDE的面積為S，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑作⊙E，當(dāng)S=
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S△ABC時(shí)，求AD的長，并判斷此時(shí)直線A'C與⊙E的位置關(guān)系．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

問題情境：如圖1，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，將一個(gè)用足夠長的細(xì)鐵絲制作的直角的頂點(diǎn)D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點(diǎn)．
問題探究：
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，
①如圖2，當(dāng)AD=BD時(shí)，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
②如圖3，當(dāng)AD=2BD時(shí)，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
③根據(jù)你對①、②的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)AD=nBD時(shí)，DP、DQ滿足的數(shù)量關(guān)系為
 
（直接寫出結(jié)論，不必證明）
（2）當(dāng)AD=BD時(shí)，若AB=20，連接PQ，設(shè)△DPQ的面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由．
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