王大伯要做一張如圖1的梯子,梯子共有8級互相平行的踏板,每相鄰兩級踏板之間的距離都相等.已知梯子最上面一級踏板的長度A1B1=0.5m,最下面一級踏板的長度A8B8=0.8m.木工師傅在制作這些踏板時,截取的木板要比踏板長,以保證在每級踏板的兩個外端各做出一個長為4cm的榫頭(如圖2所示),以此來固定踏板.現(xiàn)市場上有長度為2.1m的木板可以用來制作梯子的踏板(木板的寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求),請問:制作這些踏板,王大伯最少需要買幾塊這樣的木板?請說明理由.(不考慮鋸縫的損耗)

【答案】分析:在解此題的過程中,一定要構建相似三角形,因為踏板之間是相互平行,而且間隔相等,所以可利用這一組平行線來構建相似三角形,從而依次求出自上而下各條踏板的長度.另外千萬不要忽略榫頭的長度;
解法二:可以把梯子看做一個等腰梯形,由中位線定理即可求解;
解法三:和解法二相同,都是利用梯形中位線,只不過又做了一條踏板A9B9,有A1B1和A9B9能求出A5B5,然后有A5B5和A9B9求出A7B7,再有A7B7和A9B9求出A8B8=80,從而算出A9B9的具體數(shù)值,這樣的話,A1B1至A8B8的長就都能準確求出,從而算出一共需要多少材料.
解答:解:法一:如圖,設自上往下第2,3,4,5,6,7級踏板的長依次為A2B2,A3B3,A7B7,過A1作B1B8的平行線分別交A2B2,A3B3,A8B8于點C2,C3,…,C8
∵每兩級踏板之間的距離相等,
∴C8B8=C7B7=…=C2B2=A1B1=50cm,A8C8=80-50=30cm.
∵A2C2∥A8B8
∴∠A1A2C2=∠A1A8C8,∠A1C2A2=∠A1C8A8,
∴△A1A2C2∽△A1A8C8,
∴A2C2:A8C8=1:7,


設要制作A1B1,A2B2,…,A7B7,A8B8這些踏板需用木板的長度分別為a1cm,a2cm,…,a8cm,
則a1=50+8=58,,,,,,a8=58+30,
,
∴王大伯買的木板肯定不能少于3塊,
又∵,

,
∴王大伯最少買3塊這樣的木板就行了.

法二:如圖,分別取A1A8,B1B8的中點P,Q,連接PQ.
設自上往下第2,3,4,5,6,7級踏板的長依次為A2B2,A3B3,…,A7B7,則由梯形中位線定理可得:
A1B1+A8B8=A2B2+A7B7=A3B3+A6B6=A4B4+A5B5=2PQ.(2分)
∵A1B1=50cm,A8B8=80cm,
∴A1B1+A8B8=A2B2+A7B7=A3B3+A6B6=A4B4+A5B5=130.(3分)
設要制作A1B1,A2B2,…,A7B7,A8B8
這些踏板需用木板的長度為a1cm,a2cm,…,a8cm,
則a1+a8=a2+a7=a3+a6=a4+a5=146.
∵a1+a2+…+a8=146×4=584>210×2,
∴王大伯買的木板肯定不能少于3塊.(4分)
過A1作B1B8的平行線分別交A2B2,A3B3,…,A8B8
于點C2,C3,…,C8
∵每兩級踏板之間的距離相等,
∴C8B8=C7B7=…=C2B2=A1B1=50cm,A8C8=80-50=30cm.
∵A2C2∥A8B8
∴∠A1A2C2=∠A1A8C8,∠A1C2A2=∠A1C8A8
∴△A1A2C2∽△A1A8C8,
∴A2C2:A8C8=1:7,
,
,(6分)

而a1=58,a8=88,
∴a1+a3+a6=58+146=204<210,,a7+a8<a8+a8=88×2<210.
∴王大伯最少買3塊這樣的木板就行了.(8分)

法三:如果在梯子的下面再做第9級踏板,
它與其上面一級踏板之間的距離等于梯子相鄰兩級踏板之間的距離(如圖),
設第9級踏板的長為xcm,
則由梯形中位線的性質可得:
第5級踏板的長A5B5=(50+x)cm,
第7級踏板的長A7B7=[(50+x)+x]cm,
由題意得:
第8級踏板的長A8B8={[(50+x)+x]+x}=80,
解這個方程得:
,(2分)
由此可求得:
cm,,,
設要制作A1B1,A2B2,…,A7B7,A8B8,這些踏板需截取的木板長度分別為a1cm,a2cm,…,a8cm,
則a1=50+8=58,,,,,,a8=88.
∴a1+a3+a6=58+146=204<210,,a7+a8<a8+a8=88×2<210.
∴王大伯最少買3塊這樣的木板就行了(5分)
點評:此題構建相似三角形是關鍵,只要將實際問題轉化為數(shù)學問題,利用相似比即可求出,相對來講,方法三還是比較簡單的.
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