Question

已知二次函數(shù)y＝x²+ax+a－2.

（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點(diǎn).

（2）設(shè)a＜0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)A、B的距離為時，求出此二次函數(shù)的解析式.

（3）若（2）中的條件不變，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由.

Answer 1

解（1）因?yàn)椤鳎?i>a²－4(a－2)＝(a－2)²+4＞0，所以不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點(diǎn).

（2）設(shè)x₁、x₂是x²+ax+a－2＝0的兩個根，由韋達(dá)定理得，

x₁+x₂＝－a，x₁x₂＝a－2，                

因兩交點(diǎn)的距離是AB＝，所以＝＝.

即(x₁－x₂)²＝13，

變形為(x₁+x₂)²－4x₁x₂＝13，所以(－a)²－4(a－2)＝13

整理，得a²－4a－5＝0，解得a₁＝5，或a₂＝－1.

又因?yàn)?i>a＜0，所以a＝－1，

所以此二次函數(shù)的解析式為y＝x²－x－3. 

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x₀，y₀)，

因?yàn)?i>AB＝.

所以S_△PAB＝AB·＝，所以＝，

所以＝3，則y₀＝±3.                  

當(dāng)y₀＝3時，x₀²－x₀－3＝3，解得x₀＝－2，或3；

當(dāng)y₀＝－3時，x₀²－x₀－3＝－3，解得x₀＝0，或1.

綜上所述， P點(diǎn)坐標(biāo)是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3).