Question

已知一元二次方程ax²+bx+c=0兩根為x₁，x₂，x₂+x₁=-

b

a

，x₂．x₁=

c

a

．如果拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，2），若abc=4，且a≥b≥c，則|a|+|b|+|c|的最小值為（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

分析：易知：b+c=2-a，bc=

4

a

，可將b、c看做是一元二次方程x²-（2-a）x+

4

a

=0的兩實(shí)根，那么可根據(jù)△≥0，求得a的大致取值范圍為a≥4．由于abc=4＞0，且a≥b≥c，則說明：
①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三數(shù)均為正數(shù)，顯然a+b+c＞4≠2，因此不合題意．
②a正，b、c為負(fù)，那么此時(shí)|a|+|b|+|c|=a-（b+c）=a-（2-a）=2a-2，根據(jù)得出的a的取值范圍，即可求出|a|+|b|+|c|的最小值．

解答：解：∵a≥b≥c，若a＜0，則b＜0，c＜0，a+b+c＜0，與a+b+c=2矛盾，
∴a＞0；
∵b+c=2-a，bc=

4

a

，
∴b，c是一元二次方程x²-（2-a）x+

4

a

=0的兩實(shí)根．
∴△=（2-a）²-4×

4

a

≥0，
∴a³-4a²+4a-16≥0，即（a²+4）（a-4）≥0，故a≥4．
∵abc＞0，
∴a，b，c為全大于0或一正二負(fù)．
①若a，b，c均大于0，
∵a≥4，與a+b+c=2矛盾；
②若a，b，c為一正二負(fù)，則a＞0，b＜0，c＜0，
則|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，
∵a≥4，
故2a-2≥6
當(dāng)a=4，b=c=-1時(shí)，滿足題設(shè)條件且使不等式等號(hào)成立．
故|a|+|b|+|c|的最小值為6．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用及不等式的相關(guān)知識(shí)．