Question

已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖），拋物線經(jīng)過點A（-3，0）、C（0，-）．
（1）求該拋物線頂點P的坐標(biāo)；
（2）求tan∠CAP的值；
（3）設(shè)Q是（1）中所求出的拋物線的一個動點，點Q的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)點Q在第四象限時，用含t的代數(shù)式表示△QAC的面積．

Answer 1

解：（1）將A（-3，0）、C（0，-）．代入得
解得
所以拋物線的表達(dá)式為y=x²+x-．
其頂點P的坐標(biāo)為（-1，-2）．…（1分）
（2）延長AP交y軸于G，過C作CH⊥AG，垂足是H．
設(shè)直線AP的表達(dá)式為y=kx+b，
將A（-3，0）、P（1，-2）代入，得
，解得．
∴y=-x-3．
進(jìn)而可得G（0，-3）．
∴OG=OA，∠G=∠OAG=45°，
在Rt△CHG中，HG=CH=CG•sin45°=．
在Rt△AOG中，AG==3，
∴AH=AG-HG=
∴tan∠CAP==．

（3）設(shè)Q（t，t²+t-），
由Q在第四象限，得|t|=t，|t²+t-|=-t²-t+）．
聯(lián)結(jié)OQ，易得 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ．
∵S_△AOC=×|-3|×|-|=，S_△QOC=×|-|×t=t，
S_△AOQ=×|-3|×|t²+t-|=-t²-t+，
∴S_△QAC=+t-（-t²-t+）=|=-t²+t．
分析：（1）將已知點的坐標(biāo)代入到給定的函數(shù)的解析式中求解即可；
（2）延長AP交y軸于G，過C作CH⊥AG，垂足是H，首先求得直線AP的解析式，然后表示出有關(guān)線段長，從而求得tan∠CAP的值；
（3）利用 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ求解即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題目，利用一般式求二次函數(shù)解析式及解直角三角形是考查的重點內(nèi)容，同學(xué)們應(yīng)學(xué)會應(yīng)用．