Question

如圖：設矩形ABCD的面積是36cm²，在邊AB、AD上分別取點E、F，使AE=3EB，DF=2AF，DE與CF的交點為P，則△FPD的面積是

 

．

Answer 1

分析：延長DE，CB交于點M，構建相似三角形△ADE∽△BME、△FPD∽△CPM，然后根據相似三角形的對應邊成比例求得AD=3MB、PC=2PF；作PN⊥AD于點N，構建△DPF的高線和平行線PN∥DC，利用平行線截線段成比例求得3PN=CD，∴PN=

1

3

CD，DF=

2

3

AD，然后根據三角形的面積公式解答．

解答：解：延長DE，CB交于點M，作PN⊥AD于點N．
在△ADE和△BME中，

∠AED=∠BEM(對頂角相等) ∠A=∠EBM=90°

，
∴△ADE∽△BME（AA）；
又AE=3EB（已知），
∴

MB

AD

=

EB

EA

=

1

3

（相似三角形的對應邊成比例）；
∵DF=2AF，
∴設MB=x，則AD=BC=3x，DF=2x；
在△FPD和△CPM中，

∠DPF=∠MPC(對頂角相等) ∠FDP=∠PMC(兩直線平行，內錯角相等)

，
∴△FPD∽△CPM，
則

PF

PC

=

DF

MC

=

1

2

；
而PN∥CD，
則

PF

FC

=

PN

CD

=

1

3

，
∴PN=

1

3

CD，DF=

2

3

AD，
∴PN•DF=

2

9

AD•CD=

2

9

×36=8
∴三角形PDF的面積=

1

2

DF×PD=

1

2

×8=4；
故答案是：4．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質．解答本題的關鍵是通過作輔助線“延長DE，CB交于點M”構建相似三角形，然后由相似三角形的性質來求所求△PFD的面積與矩形的面積之間的數量關系．