【題目】如圖,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),△ACM、△CBN是等邊三角形,直線AN、MC交于點(diǎn)E,直線BM、CN交于點(diǎn)F.
(1)求證:AN=MB;
(2)求證:△CEF為等邊三角形;
(3)將△ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,其它條件不變,在圖②中補(bǔ)出符合要求的圖形,并判斷(1)題中的結(jié)論是否依然成立,說明理由.
【答案】
(1)
證明:∵△ACM,△CBN是等邊三角形,
∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°.
在△CAN和△MCB中, ,
∴△CAN≌△MCB(SAS),
∴AN=BM
(2)
證明:∵△CAN≌△MCB,
∴∠CAN=∠CMB.
∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=60°.
∴∠MCF=∠ACE.
在△CAE和△CMF中, ,
∴△CAE≌△CMF(ASA)
∴CE=CF,
∴△CEF為等腰三角形,
∴∠ECF=60°,
∴△CEF為等邊三角形
(3)
證明:解:如圖,
連接AN,BM.
∵△ACM、△CBN是等邊三角形
∴AC=MC,BC=CN,∠ACM=∠BCN=60°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACN=∠BCM.
在△ACN與△MCB中, ,
∴△ACN≌△MCB(SAS).
∴AN=BM.
即:結(jié)論1,AN=BM,成立
【解析】(1)可通過全等三角形來得出簡單的線段相等,證明AN=BM,只要求出三角形ACN和MCB全等即可,這兩個(gè)三角形中,已知的條件有AC=MC,NC=CB,只要證明這兩組對應(yīng)邊的夾角相等即可,我們發(fā)現(xiàn)∠ACN和∠MCB都是等邊三角形的外角,因此它們都是120°,這樣就能得出兩三角形全等了.也就證出了AN=BM.(2)我們不難發(fā)現(xiàn)∠ECF=180﹣60﹣60=60°,因此只要我們再證得兩條邊相等即可得出三角形ECF是等邊三角形,可從EC,CF入手,由(1)的全等三角形我們知道,∠MAC=∠BMC,又知道了AC=MC,∠MCF=∠ACE=60°,那么此時(shí)三角形AEC≌三角形MCF,可得出CF=CE,于是我們再根據(jù)∠ECF=60°,便可得出三角形ECF是等邊三角形的結(jié)論.(3)通過證明三角形ACN和BCM來求得.這兩個(gè)三角形中MC=AC,NC=BC,∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB,因此兩三角形就全等,AN=BM,結(jié)論1正確.
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【題目】如圖,已知函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),有下列四個(gè)結(jié)論:①abc>0;②4a+2b+c>0;③3a+c<0;④a+b≥m(am+b),其中正確的有( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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【題目】如圖,Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合,B點(diǎn)與0刻度線的一端重合,∠ABC=40°,射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng),與量角器外沿交于點(diǎn)D,若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形,則點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是( )
A.40°
B.70°
C.70°或80°
D.80°或140°
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【題目】某公司投資建了一商場,共有商鋪30間,據(jù)預(yù)測,當(dāng)每間租金定為10萬元,可全部租出,每間的年租金每增加5000元,少租出商鋪1間,該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用1萬元,未租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用5000元.
(1)當(dāng)每間商鋪的年租金為l3萬元時(shí),能租出多少間?
(2)若從減少空鋪的角度來看,當(dāng)每間商鋪的年租金為多少萬元時(shí),該公司的年收益為275萬元?
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【題目】用適當(dāng)方法解下列方程
(1)x(x+4)=8x+12
(2)(x+3)2=25(x﹣1)2
(3)(x+1)(x+8)=﹣12
(4)x4﹣x2﹣6=0.
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【題目】如圖,直線y=﹣ x+1和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)B(k, )
(1)k的值是;
(2)求拋物線的解析式;
(3)不等式x2+bx+c>﹣ x+1的解集是 .
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【題目】某校初三年級(1)班要舉行一場畢業(yè)聯(lián)歡會(huì).規(guī)定每個(gè)同學(xué)分別轉(zhuǎn)動(dòng)下圖中兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤A、B(轉(zhuǎn)盤A被均勻分成三等份.每份分別標(biāo)上1.2,3三個(gè)數(shù)宇.轉(zhuǎn)盤B被均勻分成二等份.每份分別標(biāo)上4,5兩個(gè)數(shù)字).若兩個(gè)轉(zhuǎn)盤停止后指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字都為偶數(shù)(如果指針恰好指在分格線上.那么重轉(zhuǎn)直到指針指向某一數(shù)字所在區(qū)域?yàn)橹梗畡t這個(gè)同學(xué)要表演唱歌節(jié)目.請求出這個(gè)同學(xué)表演唱歌節(jié)目的概率(要求用畫樹狀圖或列表方法求解)
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(1)求證:∠ECD=∠EDC;
(2)若tanA= ,求DE長;
(3)當(dāng)∠A從15°增大到30°的過程中,求弦AD在圓內(nèi)掃過的面積.
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