Question

【題目】如圖1，內(nèi)接于，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)．

（1）求證：；

（2）如圖2，若平分與交于點(diǎn)延長，與的延長線交于點(diǎn)求證：；

（3）在（2）的條件下，若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）面積為.

【解析】

（1）先根據(jù)圓周角定理的推論得出點(diǎn)O與M重合，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即；

（2）首先證明，即可得出；

（3）首先利用三角形的中位線的性質(zhì)得出，然后根據(jù)角平分線的定義得出進(jìn)而有，然后證明，則有，然后通過證明得出，則，然后設(shè)， 在中，利用勾股定理求出x的值，從而可求出AB的長度，則圓的半徑可求，最后利用圓的面積公式即可求解．

證明:如圖1中，連接，

，點(diǎn)為中點(diǎn)，

是的直徑，點(diǎn)與重合．

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，

．

，

，

即；

證明:如圖2，

∵AB是直徑，

，

．

在和中，

，

；

解:過點(diǎn)作于，

是的直徑，

，

．

∵，

，

，

∴．

又∵AD平分，

，

，

．

，

，

，

．

在和中，

，

，

，

．

設(shè)，則，

．

在中，

，

，

，

解得或(舍去)，

，

，

面積．