Question

【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8，AD=6,點E為AB上一點,AE=2,點F在AD上,將△AEF沿EF折疊,當折疊后點A的對應點A'恰好落在BC的垂直平分線上時,折痕EF的長為__________

Answer 1

【答案】4或

【解析】分析：①當AF＜AD時，由折疊的性質得到A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，過E作EH⊥MN于H，由矩形的性質得到MH=AE=2，根據(jù)勾股定理得到A′H=，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論；②當AF＞AD時，由折疊的性質得到A′E=AE=2 A′E2HE2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，過A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，根據(jù)矩形的性質得到DH=AG，HG=AD=6，根據(jù)勾股定理即可得到結論．

詳解：①當AF＜AD時，如圖1，將△AEF沿EF折疊，當折疊后點A的對應點A′恰好落在BC的垂直平分線上，

則A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
設MN是BC的垂直平分線，
則AM=AD=3，
過E作EH⊥MN于H，則四邊形AEHM是矩形，
∴MH=AE=2，
∵A′H==，
∴A′M=，
∵MF2+A′M2=A′F2，
∴（3-AF）2+（）2=AF2，
∴AF=2，
∴EF==4；
②當AF＞AD時，如圖2，將△AEF沿EF折疊，當折疊后點A的對應點A′恰好落在BC的垂直平分線上，

則A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
設MN是BC的垂直平分線，
過A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，
則四邊形AGHD是矩形，
∴DH=AG，HG=AD=6，
∴A′H=A′G=HG=3，
∴EG=，
∴DH=AG=AE+EG=3，
∴A′F=，
∴EF==4，
綜上所述，折痕EF的長為4或4，
故答案為：4或4．