Question

【題目】在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．
（1）如圖①，將矩形紙片沿AN折疊，點B落在對角線AC上的點E處，求BN的長；

（2）如圖②，點M為AB上一點，將△BCM沿CM翻折至△ECM，ME與AD相交于點G，CE與AD相交于點F，且AG=GE，求BM的長；

（3）如圖③，將矩形紙片ABCD折疊，使頂點B落在AD邊上的點E處，折痕所在直線同時經(jīng)過AB、BC（包括端點），設(shè)DE=x，請直接寫出x的取值范圍： ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)BN=x，在Rt△ENC中，由勾股定理得：x2+42=（8﹣x），

解得：x=3，

∴BN=3

（2）

解：設(shè)BM=x，

由折疊的性質(zhì)得：∠E=∠B=90°=∠A，

在△GAM和△GEF中， ，

∴△GAM≌△GEF（ASA），

∴GM=GF，

∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6﹣x，

∴DF=8﹣x，CF=8﹣（6﹣x）=x+2，

在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8﹣x）2+62，

解得：x= ，

∴BM=

（3）解：當(dāng)折痕所在直線經(jīng)過點A時，如圖1所示：
此時DE最小=AD﹣AB=8﹣6=2；
當(dāng)折痕所在直線經(jīng)過點C時，如圖2所示：
此時DE最大，CE=CB=8，
由勾股定理得：DE= =2 ；
∴x的取值范圍是2≤x≤2 ；
故答案為：2≤x≤2
【解析】（1）設(shè)BN=x，在Rt△ENC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）由ASA證明△GAM≌△GEF（ASA），得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=6﹣x，因此DF=8﹣x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）當(dāng)折痕所在直線經(jīng)過點A時，如圖1所示；此時DE最小=AD﹣AB=8﹣6=2；當(dāng)折痕所在直線經(jīng)過點C時，如圖2所示：此時DE最大，CE=CB=8，由勾股定理得：DE= =2 ；∴x的取值范圍是2≤x≤2 ；所以答案是：2≤x≤2 ．
【考點精析】通過靈活運用翻折變換（折疊問題），掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和角相等即可以解答此題．